Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點P為AB邊上一動點（不與點A，B重合），DP交AC于點Q．

（1）求證：△APQ∽△CDQ；

（2）當PD⊥AC時，求線段PA的長度；

（3）當點P在線段AC的垂直平分線上時，求sin∠CPB的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AP=；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據矩形的性質和相似三角形的判定定理證明即可；

（2）根據垂直的定義、相似三角形的性質列出比例式，計算即可；

（3）連接PC，根據線段垂直平分線的性質得到PC=PA，設PA=x，根據勾股定理列出關于x的方程，解方程即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴DC∥AB，

∴∠QAP=∠QCD，∠QPA=∠QDC，

∴△APQ∽△CDQ；

（2）解：∵PD⊥AC，

∴∠QDC+∠QCD=90°，又∠QDC+∠QDA=90°，

∴∠QCD=∠QDA，又∠DAP=∠CDA=90°，

∴△DAP∽△CDA，

∴=，即=，

解得，AP=；

（3）解：連接PC，

∵點P在線段AC的垂直平分線上，

∴PC=PA，

設PA=x，則PC=x，PB=10﹣x，

由勾股定理得，PC2=PB2+BC2，即x2=（10﹣x）2+25，

解得，x=，

∴PC=PA=，

∴sin∠CPB==．