Question

【題目】探究與發(fā)現(xiàn)：

探究一：我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．那么，三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數(shù)量關系呢？

已知：如圖1，∠FDC與∠ECD分別為△ADC的兩個外角，試探究∠A與∠FDC+∠ECD的數(shù)量關系．

探究二：三角形的一個內(nèi)角與另兩個內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關系？

已知：如圖2，在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，試探究∠P與∠A的數(shù)量關系．

探究三：若將△ADC改為任意四邊形ABCD呢？

已知：如圖3，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試利用上述結(jié)論探究∠P與∠A+∠B的數(shù)量關系．

探究四：若將上題中的四邊形ABCD改為六邊形ABCDEF（圖4）呢？

請直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數(shù)量關系：　　　　　　．

Answer 1

【答案】探究一：∠FDC+∠ECD =180°+∠A；探究二：∠DPC=90°+∠A；探究三：∠PDC==（∠A+∠B）；探究四：∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°

【解析】試題分析:探究一：根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；

探究二：根據(jù)角平分線的定義可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；

探究三：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；

探究四：根據(jù)六邊形的內(nèi)角和公式表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．

解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，

∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；

探究二：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，

∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，

∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，

=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，

=180°﹣（∠ADC+∠ACD），

=180°﹣（180°﹣∠A），

=90°+∠A；

探究三：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，

∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，

∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，

=180°﹣∠ADC﹣∠BCD，

=180°﹣（∠ADC+∠BCD），

=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B），

=（∠A+∠B）；

探究四：六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為：（6﹣2）180°=720°，

∵DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，

∴∠P=∠ADC，∠PCD=∠ACD，

∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，

=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，

=180°﹣（∠ADC+∠ACD），

=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），

=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，

即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．