Question

【題目】如圖①，A、B、C、D四點共圓，過點C的切線CE∥BD，與AB的延長線交于點E．

（1）求證：∠BAC=∠CAD；

（2）如圖②，若AB為⊙O的直徑，AD=6，AB=10，求CE的長；

（3）在（2）的條件下，連接BC，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CE=；（3）=．

【解析】

試題分析：（1）連結OC，如圖①，根據切線的性質得OC⊥CE，由于CE∥BD，則OC⊥BD，再根據垂徑定理得到=，然后利用圓周角定理可得∠BAC=∠CAD；

（2）如圖②，連結OC交BD于E，由（1）得OC⊥BD，則BE=DE，根據圓周角定理得到∠D=90°，則利用勾股定理可計算出BD=8，所以BE=BD=4，在Rt△OBE中計算出OE=3，再證明△OBE∽△OCE，然后利用相似比可計算出CE的長；

（3）先計算出CE=2，由于=，則∠CDB=∠CAB，根據正切定義得到tan∠CBE==，則tan∠CBE=tan∠CAB=，即得到=．

（1）證明：連結OC，如圖①，

∵CE為切線，

∴OC⊥CE，

∵CE∥BD，

∴OC⊥BD，

∴=，

∴∠BAC=∠CAD；

（2）解：如圖②，連結OC交BD于E，

由（1）得OC⊥BD，則BE=DE，

∵AB為直徑，

∴∠D=90°，

∴BD===8，

∴BE=BD=4，

在Rt△OBE中，OE==3，

∵BE∥CE，

∴△OBE∽△OCE，

∴=，即=，

∴CE=；

（3）解：∵OE=3，OC=5，

∴CE=5﹣3=2，

∵=，

∴∠CDB=∠CAB，

∵tan∠CBE===，

∴tan∠CAB=tan∠CBE=，

∵tan∠CAB=，

∴=．