Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+3的圖象交x軸于點A（1，0），B（3，0），交y軸于點C．

（1）求這個二次函數的表達式；

（2）點P是直線BC下方拋物線上的一動點，求△BCP面積的最大值；

（3）直線x=m分別交直線BC和拋物線于點M，N，當△BMN是等腰三角形時，直接寫出m的值．

Answer 1

【答案】（1）這個二次函數的表達式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=；（3）當△BMN是等腰三角形時，m的值為，﹣，1，2．

【解析】（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PE的長，根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；

（3）根據等腰三角形的定義，可得關于m的方程，根據解方程，可得答案．

（1）將A（1，0），B（3，0）代入函數解析式，得

，

解得，

這個二次函數的表達式是y=x2-4x+3；

（2）當x=0時，y=3，即點C（0，3），

設BC的表達式為y=kx+b，將點B（3，0）點C（0，3）代入函數解析式，得

，

解這個方程組，得

直線BC的解析是為y=-x+3，

過點P作PE∥y軸

，

交直線BC于點E（t，-t+3），

PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，

∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（-t2+3t）×3=-（t-）2+，

∵-＜0，∴當t=時，S△BCP最大=.

（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）

MN=m2-3m，BM=|m-3|，

當MN=BM時，①m2-3m=（m-3），解得m=，

②m2-3m=-（m-3），解得m=-

當BN=MN時，∠NBM=∠BMN=45°，

m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）

當BM=BN時，∠BMN=∠BNM=45°，

-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），

當△BMN是等腰三角形時，m的值為，-，1，2．