Question

（2012•衢州二模）已知：拋物線y1=x2以點C為頂點且過點B，拋物線y2=a2x2+b2x+c2以點B為頂點且過點C，分別過點B、C作x軸的平行線，交拋物線y1=x2、y2=a2x2+b2x+c2于點A、D，且AB=AC．
（1）如圖1，①求證：△ABC為正三角形；②求點A的坐標；
（2）①如圖2，若將拋物線“y1=x2”改為“y1=x2+1”，其他條件不變，求CD的長；
②如圖3，若將拋物線“y1=x2”改為“y1=3x2+b1x+c1”，其他條件不變，求a₂的值；
（3）若將拋物線“y1=x2”改為拋物線“y1=a1x2+b1x+c1”，其他條件不變，直接寫出b₁關于b₂的關系式．

Answer 1

分析：（1）①由于AB∥x軸，顯然點A、B關于拋物線y₁=x²的對稱軸對稱，可得AC=BC，已知AB=AC，那么△ABC必為等邊三角形；
②由拋物線y₁的解析式設出點A的坐標，再根據△ABC是等邊三角形列出點A橫、縱坐標的關系式，以此確定點A的坐標．
（2）①若稱AB與拋物線y₁對稱軸的交點為E，可設AE=BE=m（m＞0），在等邊△ABC中，CE=

3

m，可用m表示出點B的坐標，代入拋物線解析式中即可求出m的值，則AB的長可求；在（1）的解答過程中，不難看出△ABC、△BCD都是等邊三角形，因此由CD=BC=AB即可得解；
②將y₁的解析式寫成頂點式，即：y₁=3（x-h）²+k，首先根據等邊△ABC的特點表達出點B的坐標，將點B的坐標代入拋物線y₁的解析式中，由此求得m的值；拋物線y₂以點B為頂點，可先寫成頂點式，再將點A的坐標代入其中來確定a₂的值．
（3）由于這個小題并沒有說明按給出的三個圖求解，所以還需考慮拋物線y₂在y₁左側的情況，但解法是相同的，仍以y₂在y₁右側為例進行說明：
在（2）①的解答過程中，我們不難看出

1

2

CD=

1

2

AB=m=

3

a1

，而

1

2

AB的長度正好是兩個拋物線對稱軸的差的絕對值，那么可以拿

1

2

CD的長來作為等量關系列出關系式，據此求得b₁、b₂的關系式．

解答：解：（1）
①證明：∵AB∥x軸，∴A、B關于y軸對稱，即AC=BC；
又∵AB=AC，∴AB=AC=BC；
即：△ABC是等邊三角形．
 ②設點A的坐標為（x，x²）（x＜0）；
在等邊△ABC中，x²=tan60°•（-x），解得：x₁=0、x₂=-

3

∴A（-

3

，3）．

（2）設線段AB交拋物線y₁的對稱軸于點E，AE=BE=m（m＞0）；
①如圖（2）-①，在Rt△BCE中，BE=m，EC=

3

m，則B（m，

3

m+1）；
由于點B在y₁=x²+1的函數圖象上，所以有：

3

m+1=m²+1，解得：m=

3

∴AB=2BE=2m=2

3

；
同（1）①可知，△BCD、△ABC都是等邊三角形，則CD=AB=2

3

．
②設拋物線y₁=3x²+b₁x+c₁=3（x-h）²+k，則C（h，k）、B（h+m，k+

3

m）；
由于點B在y₁=3（x-h）²+k上，有：
k+

3

m=3m²+k，解得：m=

3

3

∴B（h+

3

3

，k+1）；
則拋物線y₂=a₂（x-h-

3

3

）²+k+1，代入C（h，k），得：
a₂×

1

3

+k+1=k，解得：a₂=-3．

（3）由（2）②知，a₂=-a₁；
由（2）①知，

1

2

CD=

1

2

AB=m=|-

b1

2a1

-（-

b2

2a2

）|=|

b1+b2

2a1

|，
而m=|

3

a1

|（由（2）的解答過程可知），則：
|

b1+b2

2a1

|=|

3

a1

|，解得：b₁+b₂=±2

3

；
即：b1=2

3

-b2或 b1=-2

3

-b2．

點評：該題是二次函數與等邊三角形的綜合題；隨著題目的深入，y₁解析式逐漸變的復雜，這也是題目的難點所在，只要抓住題目難度的遞進性，能夠把（2）的解答過程理解透徹，也就能掌握這道題的解題思路和方法；在解題過程中，要抓住等邊三角形和兩個拋物線頂點這三個關鍵條件，而最后一題中，沒有明示按給出的三個圖來解是容易丟解的地方．