Question

【題目】如圖，已知二次函數y＝ax2+2ax+c（a＞0）的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C．過點B的直線l與這個二次函數的圖象的另一個交點為D，與該圖象的對稱軸交于點E，與y軸交于點F，且DE：EF：FB＝1：1：2．

（1）求證：點F為OC的中點；

（2）連接OE，若△OBE的面積為2，求這個二次函數的關系式；

（3）設這個二次函數的圖象的頂點為P，問：以DF為直徑的圓是否可能恰好經過點P？若可能，請求出此時二次函數的關系式；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）以DF為直徑的圓能夠恰好經過點P，

【解析】

（1）首先得出對稱軸，再表示出D，C點坐標，再利用全等三角形的判定方法得出△DCF≌△BOF，進而求出答案；

（2）首先得出F點坐標，進而利用待定系數法求出直線BC的解析式，進而得出答案；

（3）由（1）可得F（0， ），E（﹣1， ），再利用EP＝DE，進而得出關于a，c的等式，進而求出答案．

（1）如圖1，過點D作DM∥FO，

∵y＝ax2+2ax+c＝a（x+1）2+c﹣a，

∴它的對稱軸為x＝﹣1，

∵DE：EF：FB＝1：1：2，且DM∥NE∥OF，

∴B（2，0），且D點的橫坐標為﹣2，

由此可得D（﹣2，c），

∵點C（0，c），

∴D、C關于x＝﹣1對稱，

故∠DCF＝90°，

在△DCF和△BOF中

∴△DCF≌△BOF，

∴OF＝CF，

即點F為CO的中點．

（2）∵△OBE的面積為2，B（2，0），

∴E（﹣1，﹣2），

∵OF∥NE，

∴△BOF∽△BNE，

∴

∴

解得：FO＝ ，

由此可得F（0，﹣ ），C（0，﹣ ），

把B（2，0），C（0，﹣）代入y＝ax2+2ax+c得

解得：

∴拋物線解析式為：

（3）以DF為直徑的圓能夠恰好經過點P，

由（1）可得F（0， ），E（﹣1， ），D（﹣2，c），

∴

要使以DF為直徑的圓恰好經過點P，有EP＝

∵E（﹣1，），P（﹣1，c﹣a），

∴EP＝

∴

另一方面，由B（2，0）可得8a+c＝0，即c＝﹣8a，

把它代入上式可得a＝ ，

∴