Question

【題目】如圖，CB=CA，∠ACB=90°，點D在邊BC上（與B、C不重合），四邊形ADEF為正方形，過點F作FG⊥CA，交CA的延長線于點G，連接FB，交DE于點Q，給出以下結論：①AC=FG；②S△FAB：S四邊形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQAC，其中正確的結論的個數是_____．

Answer 1

【答案】①②③④　．

【解析】

由正方形的性質得出∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，證出∠CAD＝∠AFG，由AAS證明△FGA≌△ACD，得出AC＝FG，①正確；
證明四邊形CBFG是矩形，得出S△FAB＝FBFG＝S四邊形CBFG，②正確；
由等腰直角三角形的性質和矩形的性質得出∠ABC＝∠ABF＝45°，③正確；
證出△ACD∽△FEQ，得出對應邊成比例，得出④正確．

解：∵四邊形ADEF為正方形，
∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，
∴∠CAD＋∠FAG＝90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF＋∠AFG＝90°，
∴∠CAD＝∠AFG，
在△FGA和△ACD中，

，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC＝FG，①正確；
∵BC＝AC，
∴FG＝BC，
∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四邊形CBFG是矩形，

∴∠CBF＝90°，S△FAB＝FBFG＝S四邊形CBFG，②正確；
∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，
∴∠ABC＝∠ABF＝45°，③正確；
∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD＝FE：FQ，
∴ADFE＝AD2＝FQAC，④正確；
故答案為：①②③④．