Question

【題目】已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝m，點E是邊BC上一點，BE＝1，連接AE，沿AE翻折△ABE使點B落在點F處．

（1）連接CF，若CF∥AE，求m的值；

（2）連接DF，若≤DF≤，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）m的值是2；（2）

【解析】

（1）畫出圖形，由CF∥AE可得內錯角和同位角相等，由翻折有對應角相等，等量代換后出現等腰三角形，即求出m的值．

（2）由于△ABE的形狀大小是固定的，其翻折圖形也固定，故可求點F到AD的距離FG與AG的長度，根據△DFG是直角三角形即可利用勾股定理用含m的式子表示DF2的長度，此時可把DF2看作是m的二次函數，根據二次函數圖象的性質和DF2的范圍，確定自變量m的范圍．

解：（1）①如圖1，∵CF∥AE

∴∠FCE＝∠AEB，∠CFE＝∠AEF

∵△ABE翻折得到△AFE

∴EF＝BE＝1，∠AEF＝∠AEB

∴∠FCE＝∠CFE

∴CE＝EF＝1

∴m＝BC＝BE+CE＝2

∴m的值是2．

②如圖2，過點F作GH⊥AD于點G，交BC于點H．

∴GH⊥BC

∴∠AGF＝∠FHE＝90°

∵四邊形ABCD是矩形

∴∠BAD＝∠B＝90°

∴四邊形ABHG是矩形

∴GH＝AB＝2，AG＝BH

∵△ABE翻折得到△AFE

∴EF＝BE＝1，AF＝AB＝2，∠AFE＝∠B＝90°

∴∠AFG+∠EFH＝∠AFG+∠FAG＝90°

∴∠EFH＝∠FAG

∴△EFH∽△FAG

∴＝＝＝，設EH＝x，則AG＝BH＝x+1

∴FG＝2EH＝2x

∴FH＝GH﹣FG＝2﹣2x

∴＝，

解得：x＝，

∴AG＝，FG＝，

∵AD＝BC＝m

∴DG＝|AD﹣AG|＝|m﹣|

∴DF2＝DG2+FG2＝（m﹣）2+（）2≥，

即可把DF2看作關于m的二次函數，拋物線開口向上，最小值為，

∵≤DF≤，

∴≤DF2≤，

∵（m﹣）2+（）2＝，

解得：m1＝，m2＝1

∴根據二次函數圖象可知，1≤m≤．