Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+c過點A（0，3），且拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，且B在C的左側(cè)，△ABC有一個內(nèi)角為60°，則拋物線的解析式為_____．

Answer 1

【答案】y＝﹣x2+3

【解析】

由A的坐標確定出c的值，根據(jù)已知不等式判斷出y1﹣y2＜0，可得出拋物線的增減性，確定出拋物線對稱軸為y軸，且開口向下，求出b的值，如圖所示，可得三角形ABC為等邊三角形，確定出B的坐標，代入拋物線解析式即可．

解：∵拋物線過點A（0，3），

∴c＝3，

當x1＜x2＜0時，x1﹣x2＜0，由（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，得到y1﹣y2＜0，

∴當x＜0時，y隨x的增大而增大，

同理當x＞0時，y隨x的增大而減小，

∴拋物線的對稱軸為y軸，且開口向下，即b＝0，

∵以O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線交于另兩點B，C，如圖所示，

∴△ABC為等腰三角形，

∵△ABC中有一個角為60°，

∴△ABC為等邊三角形，且OC＝OA＝3，

設(shè)線段BC與y軸的交點為點D，則有BD＝CD，且∠OBD＝30°，

∴BD＝OBcos30°＝，OD＝OBsin30°＝，

∵B在C的左側(cè)，

∴B的坐標為（，），

∵B點在拋物線上，且c＝3，b＝0，

∴3a+2＝，

解得：a＝，

則拋物線解析式為y＝﹣x2+3.

故答案為：y＝﹣x2+3.