Question

如圖①，中，，．它的頂點的坐標為，頂點的坐標為，，點從點出發，沿的方向勻速運動，同時點從點出發，沿軸正方向以相同速度運動，當點到達點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為秒．

（1）求的度數．
（2）當點在上運動時，的面積（平方單位）與時間（秒）之間的函數圖象為拋物線的一部分，（如圖②），求點的運動速度．
（3）求（2）中面積與時間之間的函數關系式及面積取最大值時點的坐標．
（4）如果點保持（2）中的速度不變，那么點沿邊運動時，的大小隨著時間的增大而增大；沿著邊運動時，的大小隨著時間的增大而減小，當點沿這兩邊運動時，使的點有幾個？請說明理由．

Answer 1

（1）（2）點的運動速度為2個單位/秒（3），（4）有2個，理由見解析

（1）．························· 2分
（2）點的運動速度為2個單位/秒．····················· 4分
（3）（）
··························· 6分
．
當時，有最大值為，
此時．····························· 9分
（4）當點沿這兩邊運動時，的點有2個．·········· 11分
①當點與點重合時，，
當點運動到與點重合時，的長是12單位長度，
作交軸于點，作軸于點，
由得：，
所以，從而．
所以當點在邊上運動時，的點有1個．·········· 13分
②同理當點在邊上運動時，

可算得．
而構成直角時交軸于，，
所以，從而的點也有1個．
所以當點沿這兩邊運動時，的點有2個．··········· 14分
（1）已知了AB的長和B點的坐標，那么sin∠BAO= ，因此∠BAO=60°
（2）由函數的圖形可知：當t=5時，三角形OPQ的面積是30，如果設點P的速度為a，那么AP=5a，那么P到AC的距離就是 ，也就是P到OQ的距離為10-，OQ=QD+OD=5a+2．因此（5a+2）×（10-）×=30，解得a=1.6，a=2．由于拋物線的解析式為S=（at+2）（10- ）× ，經化簡后可得出對稱軸應該是t=，當a=1.6時，對稱軸t=5.625顯然大于5，與給出的拋物線的圖形不相符，因此a=2是本題的唯一的解．也就是說P的速度是2單位/秒．
（3）根據（2）的求解過程即可得出S的解析式．然后根據函數的解析式來得出函數的最大值及此時對應的t的取值，然后根據P，Q的速度和t的取值，可求出P點的坐標．
（4）本題其實主要是看P在B點和C點時∠OPQ的度數范圍，當∠OBQ的度數大于90°，∠OCQ的度數小于90°時，那么在AB，BC上分別有一個符合要求的點P，如果∠OBQ的度數小于90°時那么就沒有符合要求的點，如果∠OBQ=90°，那么符合要求的點只有一個．當P，B重合時，作∠OPM=90°交y軸于點M，作PH⊥y軸于點H，然后比較OM和OQ的長即可得出∠OPQ的大致范圍，根據相似三角形OPH和OPM不難得出OM的長，然后比較OM，OQ的大小，如果OQ＞OM則說明∠OPQ＞90°，反之則小于90°，用同樣的方法可得出當P與C重合時∠OPQ的大致取值范圍，然后根據上面的分析即可判定出有幾個符合要求的點．