Question

【題目】如圖，已知點A是雙曲線y= 在第三象限分支上的一個動點，連結AO并延長交另一分支于點B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點C在第四象限內，且隨著點A的運動，點C的位置也在不斷變化，但點C始終在雙曲線y= 上運動，則k的值是.

Answer 1

【答案】-3
【解析】解：如圖，連接OC，

解：∵雙曲線y= 關于原點對稱，
∴點A與點B關于原點對稱．
∴OA=OB．
∵△ABC是等邊三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°．
∴tan∠OAC= = ．
∴OC= OA．
過點A作AE⊥y軸，垂足為E，
過點C作CF⊥y軸，垂足為F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°-∠FOC=∠OCF．
∴△AEO∽△OFC．
∴ = ．
∵OC= OA，
∴OF= AE，FC= EO．
設點A坐標為（a，b），
∵點A在第一象限，
∴AE=a，OE=b．
∴OF= AE= a，FC= EO= b．
∵點A在雙曲線y= 上，
∴ab= ．
∴FCOF= b a=3ab=3 ，
設點C坐標為（x，y），
∵點C在第四象限，
∴FC=x，OF=-y．
∴FCOF=x（-y）=-xy=-3 ．
∴xy=-3 ．
∵點C在雙曲線y= 上，
∴k=xy=-3 ．
所以答案是-3 .
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的判定，需要了解相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）才能得出正確答案．