Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x2+bx+c過A，B，C三點，點A的坐標是（3，0），點C的坐標是（0，﹣3），動點P在拋物線上．

（1）b= ， c= ， 點B的坐標為；（直接填寫結果）
（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；
（3）過動點P作PE垂直y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）-2；-3；（﹣1，0）
（2）

解：存在．

理由：如圖所示：

①當∠ACP1=90°．

由（1）可知點A的坐標為（3，0）．

設AC的解析式為y=kx﹣3．

∵將點A的坐標代入得3k﹣3=0，解得k=1，

∴直線AC的解析式為y=x﹣3．

∴直線CP1的解析式為y=﹣x﹣3．

∵將y=﹣x﹣3與y=x2﹣2x﹣3聯立解得x1=1，x2=0（舍去），

∴點P1的坐標為（1，﹣4）．

②當∠P2AC=90°時．

設AP2的解析式為y=﹣x+b．

∵將x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得b=3．

∴直線AP2的解析式為y=﹣x+3．

∵將y=﹣x+3與y=x2﹣2x﹣3聯立解得x1=﹣2，x2=3（舍去），

∴點P2的坐標為（﹣2，5）．

綜上所述，P的坐標是（1，﹣4）或（﹣2，5）．

（3）

解：如圖2所示：連接OD．

由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．

根據垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在Rt△AOC中，

∵OC=OA=3，OD⊥AC，

∴D是AC的中點．

又∵DF∥OC，

∴ ．

∴點P的縱坐標是 ．

∴ ，解得： ．

∴當EF最短時，點P的坐標是：（ ， ）或（ ， ）．

【解析】解：（1）∵將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式得： ，解得：b=﹣2，c=﹣3．
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．
∵令x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3．
∴點B的坐標為（﹣1，0）．
故答案為：﹣2；﹣3；（﹣1，0）．
（1）將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得點B的坐標；（2）分別過點C和點A作AC的垂線，將拋物線與P1 ， P2兩點先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A與拋物線的交點坐標即可；（3）連接OD．先證明四邊形OEDF為矩形，從而得到OD=EF，然后根據垂線段最短可求得點D的縱坐標，從而得到點P的縱坐標，然后由拋物線的解析式可求得點P的坐標．