Question

如圖，已知點A（0，6），B（4，－2），C（7，），過點B作x軸的垂線，交直線AC于點E，點F與點E關于點B對稱．

（1）求證：∠CFE=∠AFE；
（2）在y軸上是否存在這樣的點P，使△AFP與△FBC相似，若有，請求出所有符合條件的點P的坐標；若沒有，請說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）是P（0，－2），P（0，－）

試題分析： （1）過點A作AM∥x軸，交FC于點M，交BE于點N.
∴AN=4.
設直線AC的解析式為,
則有，解得.
∴直線AC的解析式為當x=4時，
∴點E的坐標為（4，4），
∵點F與E關于點D對稱，則點F的坐標為（4，－8）
設直線FC的解析式為,
則有，解得.
∴直線FC的解析式為
∵AM與x軸平行，則點M的縱坐標為6.
當y=6時，則有解得x=8.
∴AM="8," MN=AM—MN=4，
∴AN=MN，
∵FN⊥AM，
∴∠ANF=∠MNF，
又NF=NF，
∴△ANF≌△MNF，
∴∠CFE=∠AFE.
（2）∵C的坐標為（7，），F坐標為（4，－8）
∴
∵又A的坐標為（0，6），則，
又BF=6，
∵EF∥AO，則有∠PAF=∠AFE，
又由（2）可知∠BFC=∠AFE，
∴∠PAF=∠BFC.
①△AFP∽△FCB，
則,即,解得PA="8."
∴OP=8－6=2，
∴P的坐標為（0，－2）.
②若△AFP∽△FBC，
則,即,解得PA=.
∴OP=－6=，
∴P的坐標為（0，－）.
所以符合條件的點P的坐標有兩個，分別是P（0，－2），P（0，－）.
點評：此類試題屬于難度很大的綜合性試題，考生在解答此類試題時要注意掌握好一些基本知識