Question

如圖1，在△ABC與△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AB=BD，M、M′分別為AB、BD中點(diǎn)．
（1）探索CM與EM′有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，連接MM′并延長交CE于點(diǎn)K，試判斷CK與EK之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

（1）CM=EM′．
證明：根據(jù)線段中點(diǎn)的概念和已知的AB=BD，得BM=DM′；
在Rt△BCM與Rt△DEM′中，

CM=EM′ BC=DE

，
∴Rt△BCM≌Rt△DEM′（HL），
∴CM=EM′；

（2）CK=KE．理由如下：
如圖2，延長MK至L，使KL=MM'，連接LE，
則KL+KM′=MM'+KM′，即KM=LM′，
由（1）可知CM=EM′，
∵BD=AB，M是AB的中點(diǎn)，M'是BD的中點(diǎn)，
∴BM=BM′，
∴∠BMM′=∠BM′M，
由（1）知Rt△BCM≌Rt△DEM′，
∴∠BMC=∠EM′D，
∴∠CMK=∠KM′E，
在△CMK和△EM′L中

MC=M′E ∠CMK=∠LM′E MK=M′L

∴△CMK≌△EM′L（SAS），
∴CK=EL，
又∵∠CKM=∠LKE=∠KLE，
∴KE=LE，
∴CK=KE．