Question

【題目】如圖1，是的垂直平分線上一點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)且.

（1）若，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在（1）的條件下，求證：；

（3）如圖2，已知，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（0，2）；（2）見解析（3）10．

【解析】

（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得OA＝AB，根據(jù)∠AOB的大小可以求得∠OPB＝60°，根據(jù)30°角所對(duì)直角邊為斜邊一半即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）在PB上取一點(diǎn)E，使OP＝OE，可證∠POA＝∠EOB，可證△POA≌△EOB，可得PA＝EB，即可解題；

（3）延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)D，過A作AH⊥x軸，AE⊥y軸，可證BP＝PD，即可求得PO＋PB＝OP＋PD＝OD即可解題．

解：（1）∵∠OPB＝∠OAB，∠AOB＝60°，

∴∠OPB＝60°，

∴∠OBP＝30°，

∵PB＝4，

∴OP＝2，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；

（2）在PB上取一點(diǎn)E，使OP＝OE，

∵∠OPE＝60°，

∴△POE是等邊三角形，

∴∠POE＝60°，PE＝PO＝OE，

∵∠AOB＝60°，

∴∠POA＝∠EOB

在△POA和△EOB中，

，

∴△POA≌△EOB（SAS），

∴PA＝EB，

∴PB＝PE＋EB＝PO＋PA；

（3）延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)D，過A作AH⊥x軸，AE⊥y軸；

∵OA＝AB，

∴∠AOB＝∠ABO，

∵∠ABO＋∠ODB＝∠AOB＋∠AOD＝90°，

∴∠AOD＝∠ODB，

∴∠ODB＝∠ABP，

∴AD＝OA，BP＝PD，

∴E為OD中點(diǎn)，

∵OE＝AH＝5，

∴PO＋PB＝PO＋PD＝OD＝2OE＝10．