Question

【題目】如圖1 ,等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線 DE 經過點 C，過 A 作 AD⊥DE 于點 D，過 B 作 BE⊥DE 于點 E，則△BEC≌△CDA，我們稱這種全等模型為 “K 型全等”．（不需要證明）

（模型應用）若一次函數 y=kx+4（k≠0）的圖像與 x 軸、y 軸分別交于 A、B 兩點．

（1）如圖 2，當 k=－1 時，若點 B 到經過原點的直線 l 的距離 BE 的長為 3，求點 A 到直線 l 的距離 AD 的長；

（2）如圖 3，當 k=－ 時，點 M 在第一象限內，若△ABM 是等腰直角三角形，求點

M 的坐標；

（3）當 k 的取值變化時，點 A 隨之在 x 軸上運動，將線段 BA 繞點 B 逆時針旋轉 90° 得到 BQ，連接 OQ，求 OQ 長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點M的坐標為（7,3）或（4,7）或（，）；（3）OQ的最小值為4．

【解析】

（1）先求出A、B兩點的坐標，根據勾股定理即可求出OE的長，然后利用AAS證出△ADO≌△OEB，即可求出AD的長；

（2）先求出A、B兩點的坐標，根據等腰直角三角形的直角頂點分類討論，分別畫出對應的圖形，利用AAS證出對應的全等三角形即可分別求出點M的坐標；

（3）根據k的取值范圍分類討論，分別畫出對應的圖形，設點A的坐標為（x，0），證出對應的全等三角形，利用勾股定理得出OQ2與x的函數關系式，利用平方的非負性從而求出OQ的最值．

解：（1）根據題意可知：直線AB的解析式為y=-x+4

當x=0時，y=4；當y=0時，x=4

∴點A的坐標為（4,0）點B的坐標為（0,4）

∴OA=BO=4

根據勾股定理：OE=

∵∠ADO=∠OEB=∠AOB=90°

∴∠AOD＋∠OAD=90°，∠AOD＋∠BOE=90°

∴∠OAD=∠BOE

在△ADO和△OEB中

∴△ADO≌△OEB

∴AD= OE=

（2）由題意可知：直線AB的解析式為y=x+4

當x=0時，y=4；當y=0時，x=3

∴點A的坐標為（3,0）點B的坐標為（0,4）

∴OA=3，BO=4

①當△ABM是以∠BAM為直角頂點的等腰直角三角形時，AM=AB，過點M作MN⊥x軸于N

∵∠MNA=∠AOB=∠BAM=90°

∴∠MAN＋∠AMN=90°，∠MAN＋∠BAO=90°

∴∠AMN=∠BAO

在△AMN和△BAO中

∴△AMN≌△BAO

∴AN=BO=4，MN=AO=3

∴ON=OA＋AN=7

∴此時點M的坐標為（7,3）；

②當△ABM是以∠ABM為直角頂點的等腰直角三角形時，BM=AB，過點M作MN⊥y軸于N

∵∠MNB=∠BOA=∠ABM=90°

∴∠MBN＋∠BMN=90°，∠MBN＋∠ABO=90°

∴∠BMN=∠ABO

在△BMN和△ABO中

∴△BMN≌△ABO

∴BN=AO=3，MN=BO=4

∴ON=OB＋BN=7

∴此時點M的坐標為（4,7）；

③當△ABM是以∠AMB為直角頂點的等腰直角三角形時，MA=MB，過點M作MN⊥x軸于N，MD⊥y軸于D，設點M的坐標為（x，y）

∴MD =ON=x，MN = OD =y，∠MNA=∠MDB=∠BMA=∠DMN=90°

∴BD=OB－OD=4－y，AN=ON－OA=x－3，∠AMN＋∠DMA=90°，∠BMD＋∠DMA=90°

∴∠AMN=∠BMD

在△AMN和△BMD中

∴△AMN≌△BMD

∴MN=MD，AN=BD

∴x=y，x－3=4－y

解得：x=y=

∴此時M點的坐標為（，）

綜上所述：點M的坐標為（7,3）或（4,7）或（，）．

（3）①當k＜0時，如圖所示，過點Q作QN⊥y軸，設點A的坐標為（x，0）該直線與x軸交于正半軸，故x＞0

∴OB=4，OA=x

由題意可知：∠QBA=90°，QB=BA

∵∠QNB=∠BOA=∠ABQ=90°

∴∠QBN＋∠BQN=90°，∠QBN＋∠ABO=90°

∴∠BQN=∠ABO

在△BQN和△ABO中

∴△BQN≌△ABO

∴QN=OB=4，BN=OA=x

∴ON=OB＋BN=4＋x

在Rt△OQN中，OQ2=ON2＋QN2=（4＋x）2＋42=（x＋4）2＋16，其中x＞0

∴OQ2=（x＋4）2＋16＞16

②當k＞0時，如圖所示，過點Q作QN⊥y軸，設點A的坐標為（x，0）該直線與x軸交于負半軸，故x＜0

∴OB=4，OA=-x

由題意可知：∠QBA=90°，QB=BA

∵∠QNB=∠BOA=∠ABQ=90°

∴∠QBN＋∠BQN=90°，∠QBN＋∠ABO=90°

∴∠BQN=∠ABO

在△BQN和△ABO中

∴△BQN≌△ABO

∴QN=OB=4，BN=OA=-x

∴ON=OB－BN=4＋x

在Rt△OQN中，OQ2=ON2＋QN2=（4＋x）2＋42=（x＋4）2＋16，其中x＜0

∴OQ2=（x＋4）2＋16≥16（當x=-4時，取等號）

綜上所述：OQ2的最小值為16

∴OQ的最小值為4．