Question

【題目】四邊形是平行四邊形，點在邊上運動（點不與點，重合）

（1）如圖1，當點運動到邊的中點時，連接，若平分，證明：；

（2）如圖2，過點作且交的延長線于點，連接．若，，，在線段上是否存在一點，使得四邊形是菱形？若存在，請說明當發，點分別在線段，上什么位置時四邊形是菱形，并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在，當且時，四邊形是菱形，見解析.

【解析】

（1）由平行四邊形的性質和角平分線定義得出∠AEB=∠ABE，證出AB=AE．即可得出結論；
（2）過點A作AH⊥DF于H，由直角三角形的性質得出DH=AD=1，由勾股定理得出AH= ．在Rt△DEF中，∠EFD=30°，得出DF=2DE=1+，因此FH=DF-DH=，得出FH=AB．證出四邊形ABFH是平行四邊形．由AH=AB，即可得出結論．

（1）如圖（1），平行四邊形中，

∵，

∴．

∵平分，

∴，

∴

∴．

又∵，

∴．

（2）存在．當且時，四邊形是菱形．理由如下：

如圖，過點作于，

在平行四邊形中，，，

在中，，

∴

∴，

．

∴在中，，

∴，

∴，

∴．

又∵在平行四邊形中，，點在的延長線上，

∴，

∴四邊形是平行四邊形．

∵，

∴四邊形是菱形．