Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB = 90，D為AB的中點，AE∥DC，CE∥DA．

（1）求證：四邊形ADCE是菱形；

（2）連接DE，若AC =，BC =2，求證：△ADE是等邊三角形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

（1）先根據題意證明四邊形ADCE是平行四邊形，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得AD= BD=CD，即可可求證結論；

（2）在Rt△ABC中，由三角函數值可知∠CAB=30，繼而根據菱形的性質可知AE = AD，∠EAD=2∠CAB=60，進而即可求證結論．

證明：（1）∵ AE∥DC，CE∥DA，

∴ 四邊形ADCE是平行四邊形．

∵ 在Rt△ABC中， D為AB的中點，

∴ AD= BD=CD=．

∴ 四邊形ADCE是菱形．

（2）在Rt△ABC中，AC =，BC =2，

∴ ．

∴ ∠CAB=30．

∵ 四邊形ADCE是菱形．

∴ AE = AD，∠EAD=2∠CAB=60．

∴ △ADE是等邊三角形．