Question

【題目】在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△A1BC1．

（1）如圖1，當點C1在線段CA的延長線上時，求∠CC1A1的度數；

（2）如圖2，連接AA1，CC1．若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；

（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉過程中，點P的對應點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1）∠CC1A1=90°．

（2）S△CBC1=．

（3）最小值為：EP1=﹣2．

最大值為：EP1= 7．

【解析】

（1）由旋轉的性質可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性質，即可求得∠CC1A1的度數．

（2）由旋轉的性質可得：△ABC≌△A1BC1，易證得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面積．

（3）由①當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最小；②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，即可求得線段EP1長度的最大值與最小值．

解：（1）∵由旋轉的性質可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，

∴∠CC1B=∠C1CB=45°．

∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．

（2）∵由旋轉的性質可得：△ABC≌△A1BC1，

∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1．

∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1

∴∠ABA1=∠CBC1．

∴△ABA1∽△CBC1

∴．

∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=．

（3）過點B作BD⊥AC，D為垂足，

∵△ABC為銳角三角形，∴點D在線段AC上．

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=．

①如圖1，當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最小．最小值為：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2．

②如圖2，當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大．最大值為：EP1=BC+BE=5+2=7．