Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB為直徑的⊙O交BC于點E，且點E是的中點，連接AD交BE于點F，連接EA，ED．

（1）求證：AC＝AF；

（2）若EF＝2，BF＝8，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AF＝

【解析】

（1）根據等弧或同弧所對的圓周角相等、等腰三角形的性質及等角的余角相等即可得出答案；

（2）首先根據AB是⊙O的直徑，得出AE⊥CF，再根據∠C＝∠C，∠BAC＝∠AEC＝90°，得出△AEC∽△BAC，根據相似三角形的性質即可得出AC＝，進一步可得出答案．

（1）∵∠BAC＝90°

∴∠C+∠ABC＝90°

∵弧

∴∠D=∠B

所以∠C+∠D=90°

∵E是的中點

∴

∴∠EAD＝∠D

∵AB是直徑

∴∠AEF=90°

∴∠EAF+∠EFA=90°

∴∠D+∠EFA=90°

∴∠EFA＝∠C

∴AC＝AF

（2）∵AB是⊙O的直徑

∴∠AEB＝90°，即AE⊥CF

∵AC＝AF，EF＝2

∴CE＝EF＝2

∵BF＝8

∴BC＝BF+EF+CE＝12

∵∠C＝∠C，∠BAC＝∠AEC＝90°

∴△AEC∽△BAC

∴，即

∴AC2＝24

∴AC＝

∵AC＝AF

∴AF＝