Question

【題目】已知拋物線(m，n 為常數)．

（1）若拋物線的的對稱軸為直線 x=1,且經過點（0，-1），求 m，n 的值；

（2）若拋物線上始終存在不重合的兩點關于原點對稱，求 n 的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，存在正實數 a，b( a＜b)，當 a≤x≤b 時，恰好有，請直接寫出 a，b 的值．

Answer 1

【答案】（1）， （2） （3），

【解析】

（1）利用對稱軸公式求出m的值，再用待定系數法求出n的值即可；

（2）設拋物線線上關于原點對稱且不重合的兩點坐標分別是和代入解析式可得，根據兩點不重合可得；

（3）由（1）可知拋物線解析式為，再根據，當 a≤x≤b 時，恰好有，即可得，由二次函數的圖象得到當時，；當時，，通過解方程求得a，b 的值．

（1）∵拋物線的的對稱軸為直線

∴

解得

∴

將點（0，-1）代入中

解得；

（2）設拋物線線上關于原點對稱且不重合的兩點坐標分別是和

代入解析式可得

兩式相加得

∴

∴；

∵當時，

解得

∴和重合

∴

∴

（3）由（1）可知拋物線解析式為

∴

∵，當 a≤x≤b 時，恰好有

∴，即

∴

∵拋物線的對稱軸是，且開口向下

∴當a≤x≤b 時，y隨x的增大而減小

∴當時，

當時，

∵

∴

將①整理得

∵

∴

解得（舍去），

同理，由②得

∵

∴或

解得，（舍去），（舍去）

綜上所述，，．