Question

【題目】如圖，矩形中，，，平分，交于點，，垂足為點，，垂足為點．則以下結論：①；②；③；④，⑤,其中正確的結論有（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

過點F作FH⊥AC，由角平分線的性質得到HF=DF，延長CE與AD的延長線交于點M，

又AF平分∠CAD，AF⊥CE，由“三線合一”逆定理，得到AC=AM，CE=EM.再設HF=DF=x,由等積法得到，從而求出關鍵的DF的值.利用勾股定理得到AC=AH=, 有DM=，，所以CE=，而后找到圖中常見的相識三角形并利用其性質逐一推理計算判斷即可.

解：∵∠CEF=∠CEA=90°，∠CAE=∠EAD=∠FCE,

∴；

故① 對；

若成立，則易知∠BAC=∠EAC=∠FAD=30°,則在中BC=AB，而BC=2，AB=4，BC=AB，故假設不成立. ②不對；

過點F作FH⊥AC，∵AF平分∠CAD，AD⊥DF，∴HF=DF=x，則CF=4-x，

又∵ ,

∵，

∴

解得

∴, ∴，故④對；

又∵，

延長CE與AD的延長線交于點M，

∵AF平分∠CAD，AF⊥CE，

∴AC=AM=，CE=EM=,

∴DM=，又∵

∴

∴，故③對；

∵∠CGE=∠ADF=90°，∠ECG=∠DAF，

∴,

∴ ,

∴，

∴CG=DG=2,

又∵∠FEC=90°，GE⊥CF，

∴∽,

∴,

∴ ,又∵CG=DG，

∴ ∴⑤對；

綜上有4個正確，

故選：D.