Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣6x+4的頂點A在直線y＝kx﹣2上．

（1）求直線的函數表達式；

（2）現將拋物線沿該直線方向進行平移，平移后的拋物線的頂點為A′，與直線的另一交點為B′，與x軸的右交點為C（點C不與點A′重合），連接B′C、A′C．

ⅰ）如圖，在平移過程中，當點B′在第四象限且△A′B′C的面積為60時，求平移的距離AA′的長；

ⅱ）在平移過程中，當△A′B′C是以A′B′為一條直角邊的直角三角形時，求出所有滿足條件的點A′的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x﹣2；（2）ⅰ）2；ⅱ）點A′的坐標為（，﹣）或（﹣，﹣）

【解析】

（1）利用配方法將拋物線表達式變形為頂點式，由此可得出點A的坐標，根據點A的坐標，利用待定系數法即可求出直線的函數表達式；

（2）設點A'的坐標為（m，﹣2m﹣2），則平移后拋物線的函數表達式為y（x﹣m）2﹣2m﹣2，利用一次函數圖象上點的坐標特征結合點C在x軸上且點C不與點A'重合，可得出m＞﹣1．

i）聯立直線和拋物線的表達式成方程組，通過解方程組可求出點B'的坐標，利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，過點C作CD∥y軸，交直線A'B'于點D，由點C的坐標可得出點D的坐標，利用S△A'B'C=S△B'CD﹣S△A'CD=60，即可得出關于t的方程，利用換元法解方程組即可得出m的值，進而可得出點A'的坐標，再由點A的坐標利用兩點間的距離公式即可求出結論；

ii）根據點A'、B'、C的坐標，可得出A'B'、A'C、B'C的長度，分∠A'B'C=90°及∠B'A'C=90°兩種情況，利用勾股定理可得出關于m的方程，利用換元法解方程即可求出m的值，進而可得出點A'的坐標，此題得解．

（1）∵y6x+4（x﹣6）2﹣14，∴點A的坐標為（6，﹣14）．

∵點A在直線y=kx﹣2上，∴﹣14=6k﹣2，解得：k=﹣2，∴直線的函數表達式為y=﹣2x﹣2．

（2）設點A'的坐標為（m，﹣2m﹣2），則平移后拋物線的函數表達式為y（x﹣m）2﹣2m﹣2．

當y=0時，有﹣2x﹣2=0，解得：x=﹣1．

∵平移后的拋物線與x軸的右交點為C（點C不與點A'重合），∴m＞﹣1．

i）聯立直線與拋物線的表達式成方程組，，解得：，∴點B'的坐標為（m﹣4，﹣2m+6）．

當y=0時，有（x﹣m）2﹣2m﹣2=0，解得：x1=m﹣2，x2=m+2，∴點C的坐標為（m+2，0）．

過點C作CD∥y軸，交直線A'B'于點D，如圖所示．

當x=m+2時，y=﹣2x﹣2=﹣2m﹣42，∴點D的坐標為（m+2，﹣2m﹣42），∴CD=2m+2+4，∴S△A'B'C=S△B'CD﹣S△A'CDCD[m+2（m﹣4）]CD（m+2m）=2CD=2（2m+2+4）=60．

設t，則有t2+2t﹣15=0，解得：t1=﹣5（舍去），t2=3，∴m=8，∴點A'的坐標為（8，﹣18），∴AA'．

ii）∵A'（m，﹣2m﹣2），B'（m﹣4，﹣2m+6），C（m+2，0），∴A'B'2=（m﹣4﹣m）2+[﹣2m+6﹣（﹣2m﹣2）]2=80，A'C2=（m+2m）2+[0﹣（﹣2m﹣2）]2=4m2+12m+8，B'C2=[m+2（m﹣4）]2+[0﹣（﹣2m+6）]2=4m2﹣20m+56+16．

當∠A'B'C=90°時，有A'C2=A'B'2+B'C2，即4m2+12m+8=80+4m2﹣20m+56+16，整理得：32m﹣128﹣160．

設a，則有2a2﹣a﹣10=0，解得：a1=﹣2（舍去），a2，∴m，∴點A'的坐標為（）；

當∠B'A'C=90°時，有B'C2=A'B'2+A'C2，即4m2﹣20m+56+1680+4m2+12m+8，整理得：32m+32﹣160．

設a，則有2a2﹣a=0，解得：a3=0（舍去），a4，∴m，∴點A'的坐標為（）．

綜上所述：在平移過程中，當△A'B'C是以A'B'為一條直角邊的直角三角形時，點A'的坐標為（）或（）．