Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（-3，0），點B的坐標是（0，4），動點C從點A出發沿射線AB方向以每秒1個單位的速度運動，過點C作CD⊥AB，交x軸于點D，點D關于y軸的對稱點為D′，以DC，DD′為邊作?CDD′E，設點C運動時間為t秒（t＞0）．
（1）當D在線段AO上時，用含t的代數式表示DD′；
（2）以AD為直徑作⊙P，若點C在整個運動過程中，⊙P與△DD′E的邊所在的直線相切，請求出所有滿足條件的t的值；
（3）連接BD，△ABD與?CDD′E重疊部分的面積記為S₁，△CDD′E的面積為S₂，若$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$＞$\frac{1}{4}$，求t的取值范圍（直接寫出答案）．

Answer 1

分析 （1）由△ACD∽△AOB，得$\frac{AC}{AO}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{CD}{OB}$，$\frac{t}{3}$=$\frac{AD}{5}$=$\frac{CD}{4}$，求出AD、CD、OD，根據DD′=2OD即可解決問題．
（2）分兩種情形①如圖2中，當⊙P與DE相切時，②如圖3中，當⊙P與DE′相切時．分別構建方程即可解決問題．
（3）①如圖4中，當重疊部分是△CDF時，連接DE．當CF=EF時，S_△CDF=$\frac{1}{4}$S_{四邊形CDD′E}，求出t的值，②當t=$\frac{9}{5}$時，四邊形不存在．③如圖5中，當重疊部分是△ABD時，且S_△ABD=$\frac{1}{4}$S_{四邊形CDD′E}，求出t的值，由此即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，當點D在線段OA上時．

在Rt△ABC中，∵OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠A=∠A，∠ACD=∠AOB=90°，
∴△ACD∽△AOB，
∴$\frac{AC}{AO}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{CD}{OB}$
∴$\frac{t}{3}$=$\frac{AD}{5}$=$\frac{CD}{4}$，
∴AD=$\frac{5}{3}$t，CD=$\frac{4}{3}$t，
∴OD=3-$\frac{5}{3}$t，
∵OD=OD′，
∴DD′=2OD=6-$\frac{10}{3}$t．

（2）①如圖2中，當⊙P與DE相切時，

∵∠EDD′=∠ACD=90°，∠ADC=∠ED′D，
∴△ACD∽△EDD′，
∴$\frac{AD}{ED′}$=$\frac{CD}{DD′}$，
∴$\frac{\frac{5}{3}t}{\frac{4}{3}t}$=$\frac{\frac{4}{3}t}{6-\frac{10}{3}t}$，
∴t=$\frac{15}{11}$．

②如圖3中，當⊙P與DE′相切時．

∵PE⊥D′E，CD∥ED′，
∴PE⊥CD，∵CD⊥AB，
∴AC∥PE，∵CE∥AP，
∴四邊形ACEP是平行四邊形，
∴AP=CE=DD′，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{5}{3}$t=6-$\frac{10}{3}$t，
∴t=$\frac{36}{25}$，
綜上所述，t=$\frac{15}{11}$s或$\frac{36}{25}$s時，⊙P與△DD′E的邊所在的直線相切．

（3）①如圖4中，當重疊部分是△CDF時，連接DE．

∵四邊形CDD′E是平行四邊形，
∴S_△CED=S_△DED′，
∴當CF=EF時，S_△CDF=$\frac{1}{4}$S_{四邊形CDD′E}，
∵CF∥AD，
∴$\frac{CF}{AD}$=$\frac{BC}{BA}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}（6-\frac{10}{3}t）}{\frac{5}{3}t}$=$\frac{5-t}{5}$，
解得t=1或9（舍棄），
∴t=1．
②當t=$\frac{9}{5}$時，四邊形不存在．
③如圖5中，當重疊部分是△ABD時，且S_△ABD=$\frac{1}{4}$S_{四邊形CDD′E}，

則有$\frac{1}{2}$•$\frac{5}{3}$t•4=$\frac{1}{4}$•（$\frac{10}{3}$t-6）•$\frac{4}{5}$t，
解得t=$\frac{34}{5}$．
綜上所述，當1＜t＜$\frac{9}{5}$或$\frac{9}{5}$＜t＜$\frac{34}{5}$時，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$＞$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查圓綜合題、切線的判定、平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質．三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．