Question

【題目】已知四邊形ABCD中，EF分別是AB、AD邊上的點，DE與CF交于點G．

（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求證：DE=CF；

（2）如圖2，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證：；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由四邊形ABCD為正方形，利用正方形的性質得到一對角為直角，相等，且AD=DC，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用AAS得到三角形ADE與三角形DCF全等，利用全等三角形對應邊相等即可得證；

（2）由四邊形ABCD為矩形，得到一對直角相等，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ADE與三角形DCF相似，利用相似三角形對應邊成比例即可得證.

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠ADC=90°，AD=DC，

∴∠ADE+∠AED=90°，

∵DE⊥CF，

∴∠ADE+∠CFD=90°，

∴∠AED=∠CFD，

∴△ADE≌△DCF，

∴DE=CF

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=90°，

∵DE⊥CF，

∴∠ADE+∠CFD=90°，∠DCF+∠CFD=90°，

∴∠ADE=∠DCF，

∴△ADE∽△DCF，

∴