Question

【題目】閱讀理解拋物線上任意一點到點（0，1）的距離與到直線y=﹣1的距離相等，你可以利用這一性質解決問題．

問題解決

如圖，在平面直角坐標系中，直線與y軸交于C點，與函數的圖象交于A，B兩點，分別過A，B兩點作直線y=﹣1的垂線，交于E，F兩點．

（1）寫出點C的坐標，并說明∠ECF=90°；

（2）在△PEF中，M為EF中點，P為動點．

①求證：；

②已知PE=PF=3，以EF為一條對角線作平行四邊形CEDF，若1＜PD＜2，試求CP的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）C（0，1），證明見試題解析；（2）①證明見試題解析；②＜PC＜．

【解析】

試題分析：（1）在直線中，令x=0，即可得到點C的坐標．由AC=AE，得到∠AEC=∠ACE，得到AE∥CO，從而有∠AEC=∠OCE，即可得到∠ACE=∠OCE，同理可得∠OCF=∠BCF，然后利用平角的定義即可證到∠ECF=90°；

（2））①過點P作PH⊥EF于H，分點H在線段EF上（如圖2①）和點H在線段EF的延長線（或反向延長線）上（如圖2②）兩種情況討論，然后只需運用勾股定理及平方差公式即可證到=，即；

②連接CD，PM，如圖3．易證CEDF是矩形，從而得到M是CD的中點，且MC=EM，然后由①中的結論，可得：在△PEF中，有，在△PCD中，有．由MC=EM可得．由PE=PF=3可求得．根據1＜PD＜2可得1＜＜4，即1＜＜4，從而可求出PC的取值范圍．

試題解析：（1）當x=0時，y=k0+1=1，則點C的坐標為（0，1），根據題意可得：AC=AE，∴∠AEC=∠ACE，∵AE⊥EF，CO⊥EF，∴AE∥CO，∴∠AEC=∠OCE，∴∠ACE=∠OCE，同理可得：∠OCF=∠BCF，∵∠ACE+∠OCE+∠OCF+∠BCF=180°，∴2∠OCE+2∠OCF=180°，∴∠OCE+∠OCF=90°，即∠ECF=90°；

（2）①過點P作PH⊥EF于H，Ⅰ．若點H在線段EF上，如圖2①．

∵M為EF中點，∴EM=FM=EF．根據勾股定理可得：==

==（EH+MH）（EH﹣MH）+（HF+MH）（HF﹣MH）=EM（EH+MH）+MF（HF﹣MH）

=EM（EH+MH）+EM（HF﹣MH）=EM（EH+MH+HF﹣MH）=EMEF=，∴；

Ⅱ．若點H在線段EF的延長線（或反向延長線）上，如圖2②．同理可得：．

綜上所述：當點H在直線EF上時，都有；

②連接CD、PM，如圖3．

∵∠ECF=90°，∴CEDF是矩形，∵M是EF的中點，∴M是CD的中點，且MC=EM．

由①中的結論可得：在△PEF中，有，在△PCD中，有，∵MC=EM，∴，∵PE=PF=3，∴，∵1＜PD＜2，∴1＜＜4，∴1＜＜4，∴14＜＜17，∵PC＞0，∴＜PC＜．