Question

課本拓展
舊知新意：
我們容易證明，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數量關系呢？
1.嘗試探究：
(1)如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，試探究∠A與∠DBC＋∠ECB之間存在怎樣的數量關系？為什么？

2.初步應用：
(2) 如圖2，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1＝130°，
則∠2－∠C＝_______________；

(3) 小明聯想到了曾經解決的一個問題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數量關系？請利用上面的結論直接寫出答案_                  _．

3.拓展提升：
(4) 如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，∠P與∠A、∠D有何數量關系？為什么？(若需要利用上面的結論說明，可直接使用，不需說明理由．)

Answer 1

（1）180°+∠A ；
（2）50°；
（3）∠P=90°－∠A；
（4）∠BAD+∠CDA=360°－2∠P．

試題分析：（1）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根據三角形內角和定理整理即可得解；
（2）利用（1）中的結論即可求出；
（3）根據角平分線的定義可得∠PCE=∠BCE，∠PBD=∠CBD，然后根據三角形內角和定理列式整理即可得解；
（4）根據四邊形的內角和定理表示出∠BAD+∠CDA，然后同理（3）解答即可．
試題解析：（1）∠DBC+∠ECB
=180°－∠ABC+180°－∠ACB
=360°－(∠ABC+∠ACB)
=360°－(180°－∠A)
=180°+∠A ；
（2）50°；
（3）∠P=90°－∠A；
（4）延長BA、CD于Q，
則∠P=90°－∠Q，∴∠Q=180°－2∠P．
∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q=180°+180°－2∠P=360°－2∠P．