Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD是邊長為5的菱形，頂點A．C．D均在坐標軸上，sinB=．

（1）求過A，C，D三點的拋物線的解析式；

（2）記直線AB的解析式為y1=mx+n，（1）中拋物線的解析式為y2=ax2+bx+c，求當y1>y2時，自變量x的取值范圍；

（3）設直線AB與（1）中拋物線的另一個交點為E，P點為拋物線上A，E兩點之間的一個動點，且直線PE交x軸于點F，問：當P點在何處時，△PAE的面積最大？并求出面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）x＜-2或x＞5；（3）當P(，)時，△PAE的面積最大，最大面積為

【解析】

（1）由菱形ABCD的邊長和一角的正弦值，可求出OC、OD、OA的長，進而確定A、C、D三點坐標，通過待定系數法可求出拋物線的解析式．
（2）首先由A、B的坐標確定直線AB的解析式，然后求出直線AB與拋物線解析式的兩個交點，然后通過觀察圖象找出直線y1在拋物線y2圖象下方的部分．
（3）該題的關鍵點是確定點P的位置，△APE的面積最大，那么S△APE=AE×h中h的值最大，即點P離直線AE的距離最遠，那么點P為與直線AB平行且與拋物線有且僅有的唯一交點．

解：（1）∵四邊形ABCD是邊長為5的菱形，∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；

Rt△OCD中，OC=CDsinD=4，OD=3；OA=AD﹣OD=2，即：

A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）；

設拋物線的解析式為：y=a（x+2）（x﹣3），得：2×（﹣3）a=4，a=；

∴拋物線：y=﹣x2+x+4．

（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直線AB：y1=﹣x﹣；

由（1）得：y2=﹣x2+x+4，則：

，解得：，；

由圖可知：當y1>y2時，x&l;-2或x>5．

（3）∵S△APE=AEh，∴當P到直線AB的距離最遠時，S△ABE最大；

若設直線L∥AB，則直線L與拋物線有且只有一個交點時，該交點即為點P；

設直線L：y=﹣x+b，當直線L與拋物線有且只有一個交點時，

﹣x+b=﹣x2+x+4，且△=0；求得：b=，即直線L：y=﹣x+；

可得點P（，）．由（2）得：E（5，﹣），則直線PE：y=﹣x+9；

PE與x軸的交點F的坐標為（，0），AF=OA+OF=；

∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=××（+）=．

綜上所述，當P（，）時，△PAE的面積最大，最大面積為．