Question

【題目】已知正方形ABCD和正方形CGEF，且D點在CF邊上，M為AE中點，連接MD、MF，

（1）如圖1，請直接給出線段MD、MF的數量及位置關系是 ；

（2）如圖2，把正方形CGEF繞點C順時針旋轉，則（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請給出你的結論并證明；

（3）若將正方形CGEF繞點C順時針旋轉30°時，CF邊恰好平分線段AE，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】(1)MD=MF，MD⊥MF；(2)MD=MF，MD⊥MF仍成立，理由詳見解析；(3)．

【解析】

試題分析：（1）延長DM交EF于點P，易證AM=EM，即可證明△ADM≌△EPM，可得DM=PM，根據△DFP是直角三角形即可解題；

（2）延長DM交CE于點N，連接FN、DF，易證∠DAM=∠NEM，即可證明△ADM≌△ENM，可得EN=AD，DM=MN，可證CD=EN，即可證明△CDF≌△ENF，可得DF=NF，即可解題；

（3）根據（1）可得MD=MF，MD⊥MF，若CF邊恰好平分線段AE，則CF過點M，最后根據Rt△CDM中，∠DCF=30°，即可求得的值．

試題解析：（1）線段MD、MF的數量及位置關系是MD=MF，MD⊥MF，

理由：如圖1，延長DM交EF于點P，

∵四邊形ABCD和四邊形FCGE是正方形，

∴AD∥EF，∠MAD=∠MEP，∠CFE=90°．

∴△DFP是直角三角形．

∵M為AE的中點，

∴AM=EM．

在△ADM和△EPM中，

∠MAD=∠MEP，AM=EM，∠AMD=∠EMP，

∴△ADM≌△EPM（ASA），

∴DM=PM，AD=PE，

∴M是DP的中點．

∴MF=DP=MD，

∵AD=CD，

∴CD=PE，

∵FC=FE，

∴FD=FP，

∴△DFP是等腰直角三角形，

∴FM⊥DP，即FM⊥DM．

故答案為：MD=MF，MD⊥MF；

（2）MD=MF，MD⊥MF仍成立．

證明：如圖2，延長DM交CE于點N，連接FN、DF，

∵CE是正方形CFEG對角線，

∴∠FCN=∠CEF=45°，

∵∠DCE=90°，

∴∠DCF=45°，

∵AD∥BC，

∴∠DAM=∠NEM，

在△ADM和△ENM中，∠MAD=∠NEM，AM=EM，∠AMD=∠EMN，

∴△ADM≌△ENM（ASA），

∴EN=AD，DM=MN，

∵AD=CD，

∴CD=EN，

在△CDF和△ENF中，

CD=EN，∠DCF=∠CEF=45°，CF=EF，

∴△CDF≌△ENF，（SAS）

∴DF=NF，

∴FM=DM，FM⊥DM．

（3）如圖所示，若CF邊恰好平分線段AE，則CF過點M，

由（1）可得FM=DM，FM⊥DM，

設FM=DM=1，

∵∠DCF=30°，

∴Rt△DCM中，CM=，CD=2=CB，

∴CF=+1=CG，

∴=．