Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+bx+c，經過A（0，﹣4），B（x1 ， 0），C（x2 ， 0）三點，且|x2﹣x1|=5．

（1）求b，c的值；
（2）在拋物線上求一點D，使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；
（3）在拋物線上是否存在一點P，使得四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形？若存在，求出點P的坐標，并判斷這個菱形是否為正方形？若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c，經過點A（0，﹣4），

∴c=﹣4

又∵由題意可知，x1、x2是方程﹣x2+bx﹣4=0的兩個根，

∴x1+x2=b，x1x2=6

由已知得（x2﹣x1）2=25

又∵（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=b2﹣24

∴b2﹣24=25

解得b=±，當b=時，拋物線與x軸的交點在x軸的正半軸上，不合題意，舍去．

∴b=﹣．

（2）

∵四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形，根據菱形的性質，點D必在拋物線的對稱軸上，

又∵y=﹣x2﹣x﹣4=﹣（x+）2+，

∴拋物線的頂點（﹣，）即為所求的點D．

（3）

∵四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形，點B的坐標為（﹣6，0），根據菱形的性質，點P必是直線x=﹣3與

拋物線y=﹣x2﹣x﹣4的交點，

∴當x=﹣3時，y=﹣×（﹣3）2﹣×（﹣3）﹣4=4，

∴在拋物線上存在一點P（﹣3，4），使得四邊形BPOH為菱形．

四邊形BPOH不能成為正方形，因為如果四邊形BPOH為正方形，點P的坐標只能是（﹣3，3），但這一點不在拋物線上.

【解析】（1）把A（0，﹣4）代入可求c，運用兩根關系及|x2﹣x1|=5，對式子合理變形，求b；
（2）因為菱形的對角線互相垂直平分，故菱形的另外一條對角線必在拋物線的對稱軸上，滿足條件的D點，就是拋物線的頂點；
（3）由四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中點坐標，代入拋物線解析式即可，再根據所求點的坐標與線段OB的長度關系，判斷是否為正方形即可．