Question

【題目】圖1是一個高腳杯截面圖，杯體呈拋物線狀（杯體厚度不計），點是拋物線的頂點，，點是的中點，當高腳杯中裝滿液體時，液面，此時最大深度（液面到最低點的距離）為，將高腳杯繞點緩緩傾斜倒出部分液體，當時停止，此時液面為，則液面到平面的距離是________________；此時杯體內液體的最大深度為_____________________．

Answer 1

【答案】

【解析】

作CD的垂線FG，DF繞F旋轉后為FP，作PH垂直EF的延長線于H，利用三角函數和差公式計算出，從而求得，進而求解.

建立直角坐標系，在DG下方的拋物線上任取一點Q，過點Q作y軸的平行線交DG于點P，過點Q作DG的垂線QM，垂足為M.求出直線DG及拋物線解析式，利用三角形DGQ的面積作為橋梁可求出QM的最大值，即杯體內液體的最大深度.

解：如圖：作CD的垂線FG，DF繞F旋轉后為FP，作PH垂直EF的延長線于H，

由題意可知：FG=21，DG=，

所以DF=，

所以

所以＝，

所以=

所以PH=FP==，

液面到平面的距離是；

如圖3，建立直角坐標系，在DG下方的拋物線上任取一點Q，過點Q作y軸的平行線交DG于點P，過點Q作DG的垂線QM，垂足為M，

由題意可知DG繞F點順時針旋轉后與水平方向平行，所以旋轉前DG與水平方向的夾角為，設直線DG的解析式為y=kx+b，

由題意可知，點D的坐標為，

，

所以，

設拋物線的解析式為，經過點D，

所以a=1，

所以，

由得點G的坐標為，

設Q的坐標為，點P的坐標為，

所以PQ==，

當時，PQ有最大值為，

又因為=，

所以當PQ取最大值時，有最大值=，

=，

又因為=，

所以當有最大值時，QM有最大值，

，

所以QM=

所以旋轉后杯體內液體的最大深度為，

故答案是：；.