Question

【題目】如圖，以ABCD的邊BC為直徑的⊙O交對角線AC于點E，交CD于點F．連結BF．過點E作EG⊥CD于點G，EG是⊙O的切線．

（1）求證：ABCD是菱形；

（2）已知EG＝2，DG＝1．求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3

【解析】

（1）如圖，連接OE，根據切線的性質得到OE⊥EG，根據平行四邊形的性質得到OE∥CD∥AB，推出AB＝BC，于是得到結論；

（2）如圖，連接BD，由（1）得，CE：AC＝1：2，得到點E是AC的中點，根據圓周角定理得到BF⊥CD，根據相似三角形的性質得到DF＝2，BF＝4，由勾股定理即可得到結論．

（1）證明：如圖，連接OE，

∵EG是⊙O的切線，

∴OE⊥EG，

∵EG⊥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OE∥CD∥AB，

∴∠CEO＝∠CAB，

∵OC＝OE，

∴∠CEO＝∠ECO，

∴∠ACB＝∠CAB，

∴AB＝BC，

∴ABCD是菱形；

（2）如圖，連接BD，

由（1）得，OE∥CD，OC＝OB，

∴AE＝CE，

∴CE：AC＝1：2，

∴點E是AC的中點，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD經過點E，

∵BC是⊙O的直徑，

∴BF⊥CD，

∵EG⊥CD，

∴EG∥BF，

∴△DGE∽△DFB，

∴DG：DF＝GE：BF＝DE：BD＝1：2，

∴DF＝2，BF＝4，

在Rt△BFC中，設CF＝x，則BC＝x+2，

由勾股定理得，x2+42＝（x+2）2，

解得：x＝3，

∴CF＝3．