Question

如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，FG∥AB交BC于G．試判斷CE，CF，GB的數量關系，并說明理由．

Answer 1

CE=CF=GB．
理由如下：
（1）∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠CAD=90°．
∴∠ACD=∠ABC．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE．
∵∠CEF=∠BAE+∠ABC，∠CFE=∠CAE+∠ACD，
∴∠CEF=∠CFE．
∴CE=CF（等角對等邊）．

（2）如圖，過E作EH⊥AB于H，
∵AE平分∠BAC，EH⊥AB，EC⊥AC，
∴EH=EC（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）．
∴EH=CF．
∵FG∥AB，
∴∠CGF=∠EBH．
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴∠CFG=∠EHB=90°．
在Rt△CFG和Rt△EHB中
∵∠CGF=∠EBH，∠CFG=∠EHB，CF=EH，
∴Rt△CFG≌Rt△EHB．
∴CG=EB．
∴CE=GB．
∴CE=CF=GB．