Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+4x+5與x軸，y軸分別交于A，B，C三點．

（1）請直接寫出A，B，C三點坐標：A（_____，_____）、B（_____，______）、C（______，______）

（2）若⊙M過A、B、C三點，求圓心M的坐標，并求⊙M的面積；

（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點N，使得由A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，0）、（5，0）、（0，5）；（2）M（2，2），13π；（3）不存在，理由見解析.

【解析】

（1）令y=-x2+4x+50，解一元二次方程，求出x的值，即可得到點A和點B的坐標，點x=0，求出y的值，即可得到點C的坐標；

（2）首先求出點M的坐標，再求出圓M的半徑，即可求出圓的面積；

（3）假設存在點N，若四邊形ACN1M為平行四邊形，根據平移的知識求出點N的坐標，進而作出判斷即可．

解：（1）令y=﹣x2+4x+5=0，

解得x1=﹣1，x2=5，

即點A坐標為（﹣1，0），點B坐標為（5，0），

令x=0，y=5，

即點C的坐標為（0，5），

故答案為（﹣1，0）、（5，0）、（0，5）；

（2）圓心再線段AB的垂直平分線上，

AB的垂直平分線為x=2，

圓心M再線段BC的垂直平分線上，

BC的垂直平分線為y=x，

∴M（2，2），

∴MB==，

∴⊙M的面積=13π；

（3）不存在，理由如下：

如圖，假設存在點N，若四邊形ACN1M為平行四邊形，則MN1可以由AC平移得到，

由點A（﹣1，0）平移到M（2，2），

可知C（0，5）平移得到N1的坐標為（3，7），

將x=3代入y=﹣x2+4x+5，得到y=8，故N1（3，7）不在函數的圖象上，

同理可得，N2（﹣3，3）；N3（1，﹣3），

將x=﹣3代入y=﹣x2+4x+5，得到y=﹣16，故N2（﹣3，3）不在函數的圖象上，

將x=﹣1代入y=﹣x2+4x+5，得到y=8，故N3（1，﹣3）不在函數的圖象上，

∴不存在拋物線上點，使得由ACMN四點構成的四邊形為平行四邊形．