Question

（2010•十堰）如圖，已知⊙O₁與⊙O₂都過點A，AO₁是⊙O₂的切線，⊙O₁交O₁O₂于點B，連接AB并延長交⊙O₂于點C，連接O₂C．
（1）求證：O₂C⊥O₁O₂；
（2）證明：AB•BC=2O₂B•BO₁；
（3）如果AB•BC=12，O₂C=4，求AO₁的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）⊙O₁與⊙O₂都過點A，AO₁是⊙O₂的切線，可證O₁A⊥AO₂，又O₂A=O₂C，O₁A=O₁B可證O₂C⊥O₂B，故可證．
（2）延長O₂O₁交⊙O₁于點D連接AD，可證∠BAD=∠BO₂C，又因為∠ABD=∠O₂BC，三角形相似，進而證明出結論．
（3）由（2）證可知∠D=∠C=∠O₂AB，即∠D=∠O₂AB，又∠AO₂B=∠DO₂A，三角形相似，列出比例式，進而求出AO₁的長．
解答：（1）證明：∵O₁A為⊙O₂的切線，
∴∠O₁AB+∠BAO₂=90°，
又∵AO₂=O₂C，
∴∠BAO₂=∠C，
又∵AO₁=BO₁，
∴∠O₁AB=∠ABO₁=∠CBO₂，
∴∠CBO₂+∠C=90°，
∴∠BO₂C=90°，
∴O₂C⊥O₁O₂；

（2）證明：延長O₂O₁交⊙O₁于點D，連接AD．
∵BD是⊙O₁直徑，
∴∠BAD=90°．
又由（1）可知∠BO₂C=90°，
∴∠BAD=∠BO₂C，
又∵∠ABD=∠O₂BC，
∴△O₂BC∽△ABD，
，
∴AB•BC=O₂B•BD，
又∵BD=2BO₁，
∴AB•BC=2O₂B•BO₁．

（3）解：由（2）證可知∠D=∠C=∠O₂AB，即∠D=∠O₂AB，
又∵∠AO₂B=∠DO₂A，
∴△AO₂B∽△DO₂A，
，
∴（AO₂）²=O₂B•O₂D，
∵O₂C=O₂A，
∴（O₂C）²=O₂B•O₂D①，
又由（2）AB•BC=O₂B•BD②，
由①-②得O₂C²-AB•BC=O₂B²即4²-12=O₂B²，
∴O₂B=2，
又∵O₂B•BD=AB•BC=12，
∴BD=6，
∴2AO₁=BD=6，
∴AO₁=3．
點評：本題主要考查切線的性質和相似三角形的判定，此題比較繁瑣，做題時應該細心．