Question

（2010•十堰）如圖，n+1個上底、兩腰長皆為1，下底長為2的等腰梯形的下底均在同一直線上，設四邊形P₁M₁N₁N₂面積為S₁，四邊形P₂M₂N₂N₃的面積為S₂，…，四邊形P_nM_nN_nN_n+1的面積為S_n，通過逐一計算S₁，S₂，…，可得S_n=    ．

Answer 1

【答案】分析：先求出一個小梯形的高和面積，再根據相似三角形對應高的比等于對應邊的比求出四邊形P_nM_nN_nN_n+1上方的小三角形的高，然后用小梯形的面積減上方的小三角形的面積即可．
解答：解：如圖，根據題意，小梯形中，
過D作DE∥BC交AB于E，
∵上底、兩腰長皆為1，下底長為2，
∴AE=2-1=1，
∴△AED是等邊三角形，
∴高h=1×sin60°=，
S_梯形=×（1+2）×=，
設四邊形P_nM_nN_nN_n+1的上方的小三角形的高為x，
根據小三角形與△AM_nN_n相似，AN_n=2n，
由相似三角形對應邊上高的比等于相似比，可知，
解得x==，
∴S_n=S_梯形-×1×，
=-．
點評：解答本題關鍵在于看出四邊形P_nM_nN_nN_n+1的面積等于一個小梯形的面積減掉它上方的小三角形的面積，而小三角形的面積可以利用相似三角形的性質求出，此題也就解決了．