Question

如圖（1），在平面直角坐標系中二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過點A（1，-2），B（3，-1）
（1）求拋物線的解析式及頂點C的坐標；
（2）請問在y軸上是否存在點P，使得S_△ABC=S_△ABP？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）請在圖（2）上用尺規(guī)作圖的方式探究拋物線上是否存在點Q，使得△QAB是等腰三角形？若存在，請判斷點Q共有幾個可能的位置（保留作圖痕跡）；若不存在，請說明理由（不用證明）．

Answer 1

（1）由l₂的解析式為y=-x²+bx+c，聯(lián)立方程組：

-1+b+c=-2 -9+3b+c=-1

解得得：b=

9

2

，c=-

11

2

，
則l₂的解析式為y=-x²+

9

2

x-

11

2

=-（x-

9

4

）²-

7

16

．
點C的坐標為（

9

4

，-

7

16

）．

（2）如答圖1，過點A、B、C三點分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，
則AD=2，CF=

7

16

，BE=1，DE=2，DF=

5

4

，FE=

3

4

．
得：S_△ABC=S_梯形ABED-S_梯形BCFE-S_梯形ACFD=

15

16

．
延長BA交y軸于點G，直線AB的解析式為y=

1

2

x-

5

2

，則點G的坐標為（0，-

5

2

），設點P的坐標為（0，h），
①當點P位于點G的下方時，PG=-

5

2

-h，連接AP、BP，
則S_△ABP=S_△BPG-S_△APG=-

5

2

-h，又S_△ABC=S_△ABP=

15

16

，得h=-

55

16

，點P的坐標為（0，-

55

16

）．
②當點P位于點G的上方時，PG=

5

2

+h，同理h=-

25

16

，點P的坐標為（0，-

25

16

）．
綜上所述所求點P的坐標為（0，-

55

16

）或（0，-

25

16

）（7分）

（3）作圖痕跡如答圖2所示．
由圖可知，
當以AB為腰以A為頂點時，以點A為圓心，以AB為半徑畫圓與拋物線交與Q₁；
當以AB為腰以B為頂點時，以點b為圓心，以AB為半徑畫圓與拋物線交與Q₂；
當以AB為底邊時，作AB的垂直平分線交拋物線于Q₃，Q₄；
故滿足條件的點有Q₁、Q₂、Q₃、Q₄，共4個可能的位置．（10分）