Question

如圖，將拋物線y=x²沿x軸正方向平移3個單位得到拋物線l，直線y=-2．
（1）求拋物線l的解析式；
（2）點A是拋物線l上一點，點B是直線y=-2上一點，是否存在等腰△OAB？若存在，求點A，B兩點的坐標；若不存在，說明理由；
（3）若將上題中的“沿x軸正方向平移3個單位”改為“沿x軸正方向平移n個單位”，其它條件不變，探究上題（2）中的問題．

Answer 1

（1）拋物線y=x²沿x軸正方向平移3個單位得到拋物線l的解析式為y=（x-3）²；

（2）存在，當OA=OB時，即AB關于x軸對稱時，三角形OAB為的等腰三角形，
設B點坐標為（x，-2）則A點坐標為A（x，2），
又∵點A是拋物線l上一點，
∴（x-3）²=2，解得x=3+

2

或x=3-

2

，
∴AB兩點的坐標分別為A（3+

2

，2），B（3+

2

，-2）或為A（3-

2

，2），B（3-

2

，-2）；

（3）拋物線y=x²沿x軸正方向平移n個單位得到拋物線l的解析式為y=（x-n）²；
若三角形OAB為的等腰三角形，則OA=OB，即AB關于x軸對稱，
設B點坐標為（x，-2）則A點坐標為A（x，2），
又∵點A是拋物線l上一點，
∴（x-n）²=2，解得x=n+

2

或x=n-

2

，
∴AB兩點的坐標分別為A（n+

2

，2），B（n+

2

，-2）或為A（n-

2

，2），B（n-

2

，-2）；