Question

【題目】函數f（x）= +a（x﹣1）﹣2．
（1）當a=0時，求函數f（x）的極值；
（2）若對任意x∈（0，1）∪（1，+∞），不等式 ＜ 恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=0時，f（x）= ﹣2．x＞0，

∴f′（x）=

令f′（x）=0，解得x= ，

當f′（x）＞0時，即0＜x＜ ，函數單調遞增，

當f′（x）＜0時，即x＞ ，函數單調遞減，

∴當x= 時，函數f（x）有極大值，極大值為f（ ）=e﹣2，無極小值；

（2）解：原不等式等價于 + ＞0，即 ＞0，

∴ [lnx+a（x2﹣1）﹣2（x﹣1）]＞0，

令g（x）=lnx+a（x2﹣1）﹣2（x﹣1），g（1）=0，

∴g′（x）= +2ax﹣2= ，

∵ [lnx+a（x2﹣1）﹣2（x﹣1）]＞0，

g（2）=ln2+3a﹣2＞0a＞ ＞0，

①當a≥ 時，2ax2﹣2x+1≥x2﹣2x+1≥（x﹣1）2＞0，

∴g′（x）＞0，

∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增，

∴x∈（0，1），g（x）＜0，x∈（1，+∞），g（x）＞0，

∴ g（x）＞0，

②當0＜a＜ 時，令2ax2﹣2x+1=0，解得x= ＞1，

∴x∈（1， ）時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減，

∴g（x）＜g（1）=0，

∴ g（x）＜0，不合題意，舍去，

綜上所述a≥

【解析】（1）先求導，根據導數和函數的極值的關系即可求出，（2）原不等式等價于 + ＞0，即 ＞0，構造函數g（x）=lnx+a（x2﹣1）﹣2（x﹣1），根據導數和函數的最值得關系，分類討論即可證明
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．