Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD，E為AD的中點，異面直線AP與CD所成的角為90°．
（Ⅰ）證明：△PBE是直角三角形；
（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小為45°，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：如圖，
∵AD∥BC，AD=2BC，∴四邊形ABCD為梯形，則AB與DC相交．
∵∠PAB=90°，∴PA⊥AB，
又異面直線AP與CD所成的角為90°，∴PA⊥CD．
∴PA⊥平面ABCD，則PA⊥BE．
∵AD∥BC，BC= ，
∴四邊形BCDE為平行四邊形，則BE∥CD．
∵∠ADC=90°，∴CD⊥AD，
∴BE⊥AD．
由BE⊥PA，BE⊥AD，PA∩AD=A，得BE⊥平面PAD，
∴BE⊥PE，則△PBE是直角三角形；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAD，則∠PDA為二面角P﹣CD﹣A的平面角為45°，
設BC=1，則AD=PA=2．
在平面ABCD中，過A作Ay⊥AD．
以A為原點，分別以AD、Ay、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系．
則E（1，0，0），P（0，0，2），C（2，1，0）．
．
設平面PEC的一個法向量為 ．
由 ，得 ，取z=1，得 ．
由圖可知，平面PAE的一個法向量為 ．
∴cos＜ ＞= ．
∴二面角A﹣PE﹣C的余弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）由已知證明PA⊥平面ABCD，得PA⊥BE．再由已知證明四邊形BCDE為平行四邊形，得BE∥CD．結合CD⊥AD，得BE⊥AD．再由線面垂直的判定得BE⊥平面PAD，進一步得到BE⊥PE，得到△PBE是直角三角形；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAD，則∠PDA為二面角P﹣CD﹣A的平面角為45°，設BC=1，得AD=PA=2．在平面ABCD中，過A作Ay⊥AD．以A為原點，分別以AD、Ay、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系．求得E，P，C的坐標，求出平面PEC與平面PAE的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PE﹣C的余弦值．
【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的性質，需要了解兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直才能得出正確答案．