Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于A(﹣3，0)，B(1，0)兩點，與y軸交于點C．

（1）求這個二次函數的關系解析式；

（2）求直線AC的函數解析式；

（3）點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2；（2）；（3）存在，()

【解析】

（1）直接用待定系數法即可解答；

（2）先確定C點坐標，設直線AC的函數解析式y=kx+b，最后用待定系數法求解即可；

（3）連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，然后求出△ACP面積的表達式，最后利用二次函數的性質求最值即可．

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+2過點A（﹣3，0），B（1，0），

∴

解得，

∴二次函數的關系解析式為y=﹣x2﹣x+2；

（2）∵當x=0時，y=2，

∴C（0，2）

設直線AC的解析式為，把A、C兩點代入得

解得

∴直線AC的函數解析式為；

（3）存在．

如圖: 連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N

設點P坐標為（m，n）,則n=），PN=-m，AO=3

當x=0時，y==2，

∴點C的坐標為（0,2），OC=2

∵

=

∵a=-1<0

∴函數S△PAC=-m2-3m有最大值

∴b當m=

∴當m=時，S△PAC有最大值n=

∴當△ACP的面積最大時，P的坐標為（）．