Question

【題目】已知函數(shù) ．（a為常數(shù)，a＞0） （Ⅰ）若 是函數(shù)f（x）的一個極值點，求a的值；
（Ⅱ）求證：當0＜a≤2時，f（x）在 上是增函數(shù)；
（Ⅲ）若對任意的a∈（1，2），總存在 ，使不等式f（x0）＞m（1﹣a2）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】由題得： ． （Ⅰ）由已知，得 且 ，∴a2﹣a﹣2=0，∵a＞0，∴a=2
經(jīng)檢驗：a=2符合題意．（2分）
（Ⅱ）當0＜a≤2時，∵ ，∴ ，
∴當 時， ．又 ，
∴f'（x）≥0，故f（x）在 上是增函數(shù)．
（Ⅲ）a∈（1，2）時，由（Ⅱ）知，f（x）在 上的最大值為 ，
于是問題等價于：對任意的a∈（1，2），不等式 恒成立．
記 ，（1＜a＜2）
則 ，
當m=0時， ，∴g（a）在區(qū)間（1，2）上遞減，此時，g（a）＜g（1）=0，
由于a2﹣1＞0，∴m≤0時不可能使g（a）＞0恒成立，
故必有m＞0，∴ ．
若 ，可知g（a）在區(qū)間 上遞減，在此區(qū)間上，有g(shù)（a）＜g（1）=0，與g（a）＞0恒成立矛盾，故 ，
這時，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上遞增，恒有g(shù)（a）＞g（1）=0，滿足題設要求，
∴ ，即 ，
所以，實數(shù)m的取值范圍為 ．
【解析】（Ⅰ）先求出其導函數(shù)： ，利用 是函數(shù)f（x）的一個極值點對應的結(jié)論f'（ ）=0即可求a的值；（Ⅱ）利用： ，在0＜a≤2時，分析出因式中的每一項都大于等于0即可證明結(jié)論；（Ⅲ）先由（Ⅱ）知，f（x）在 上的最大值為 ，把問題轉(zhuǎn)化為對任意的a∈（1，2），不等式 恒成立；然后再利用導函數(shù)研究不等式左邊的最小值看是否符合要求即可求實數(shù)m的取值范圍．
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的極值與導數(shù)，需要了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．