Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，交AD于F，FG∥BC，FH∥AC，下列結論：①AE＝AF；②AF＝FH；③AG＝CE；④AB＋FG＝BC，其中正確的結論有 ． (填序號)

Answer 1

【答案】①②③④
【解析】①正確.

∵∠BAC＝90°

∴∠ABE+∠AEB=90°

∴∠ABE=90°-∠AEB

∵AD⊥BC

∴∠ADB=90°

∴∠DBE+∠BFD=90°

∴∠DBE=90-∠BFD

∵∠BFD=∠AFE

∴∠DBE=90°-∠AFE

∵BE平分∠ABC

∴∠ABE=∠DBE

∴90°-∠AEB=90°-∠AFE

∴∠AEB=∠AFE

∴AE=AF

②正確.

∵∠BAC=90°

∴∠BAF+∠DAC=90°

∴∠BAF=90°-∠DAC

∵AD⊥BC

∴∠ADC=90°

∴∠C+∠DAC=90°

∴∠C=90°-∠DAC

∴∠C=∠BAF

∵FH∥AC

∴∠C=∠BHF

∴∠BAF=∠BHF

在△ABF和△HBF中

∴△ABF≌△HBF

∴AF=FH

③正確.

∵AE=AF，AF=FH

∴AE=FH

∵FG∥BC，FH∥AC

∴四邊形FHCG是平行四邊形

∴FH=GC

∴AE=GC

∴AE+EG=GC+EG

∴AG=CE

④正確.

∵四邊形FHCG是平行四邊形

∴FG=HC

∵△ABF≌△HBF

∴AB=HB

∴AB+FG=HB+HC=BC

故正確的答案有①②③④.

①根據直角三角形兩銳角互余得出∠ABE=90°-∠AEB ，∠DBE=90-∠BFD ，根據對頂角相等及等量代換得出∠DBE=90°-∠AFE ，根據角平分線的定義得出∠ABE=∠DBE ，從而得出∠AEB=∠AFE ，根據等邊對等角得出AE=AF ； ② 根據垂直的定義得出∠BAF=90°-∠DAC ，根據直角三角形兩銳角互余得出∠C=90°-∠DAC ，根據同角的余角相等得出∠C=∠BAF ，根據平行線的性質得出∠C=∠BHF ，從而得出∠BAF=∠BHF ，然后利用AAS判斷出△ABF≌△HBF ，根據全等三角形的性質得出AF=FH ； ③ 由 AE=AF，AF=FH得出 AE=FH ，利用兩組對邊分別平行得四邊形是平行四邊形得出 四邊形FHCG是平行四邊形 ，根據平行四邊形的性質得出FH=GC ，進而得出AE=GC ，根據等式的性質得出AG=CE ；④根據平行四邊形的性質得出FG=HC ，根據三角形全等得出AB=HB ，根據等式的性質得出AB+FG=HB+HC=BC 。