Question

【題目】拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（m，0），與y軸交于C．

（1）若m=﹣3，求拋物線的解析式，并寫出拋物線的對稱軸；

（2）如圖1，在（1）的條件下，設拋物線的對稱軸交x軸于D，在對稱軸左側的拋物線上有一點E，使S△ACE= S△ACD，求點E的坐標；

（3）如圖2，設F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在線段OG上是否存在點P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；對稱軸是：直線x=﹣1；（2）點E的坐標為E（﹣4，5）（3）當﹣4≤m＜0或m=3時，在線段OG上存在點P，使∠OBP=∠FPG.

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求二次函數的解析式，并配方求對稱軸；（2）如圖1，設E（m，m2+2m﹣3），先根據已知條件求S△ACE=10，根據不規則三角形面積等于鉛直高度與水平寬度的積列式可求得m的值，并根據在對稱軸左側的拋物線上有一點E，則點E的橫坐標小于﹣1，對m的值進行取舍，得到E的坐標；

（3）分兩種情況：①當B在原點的左側時，構建輔助圓，根據直徑所對的圓周角是直角，只要滿足∠BPF=90°就可以構成∠OBP=∠FPG，如圖2，求出圓E與y軸有一個交點時的m值，則可得取值范圍；②當B在原點的右側時，只有△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形時滿足條件，直接計算即可．

試題解析：（1）當m=﹣3時，B（﹣3，0），

把A（1，0），B（﹣3，0）代入到拋物線y=x2+bx+c中得：，解得，

∴拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；對稱軸是：直線x=﹣1；

（2）如圖1，設E（m，m2+2m﹣3），

由題意得：AD=1+1=2，OC=3，

S△ACE=S△ACD=×ADOC=×2×3=10，

設直線AE的解析式為：y=kx+b，

把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，

，解得：，

∴直線AE的解析式為：y=（m+3）x﹣m﹣3，∴F（0，﹣m﹣3），

∵C（0，﹣3），∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，∴S△ACE=FC（1﹣m）=10，

﹣m（1﹣m）=20，m2﹣m﹣20=0，

（m+4）（m﹣5）=0，

m1=﹣4，m2=5（舍），

∴E（﹣4，5）；

（3）如圖2，當B在原點的左側時，連接BF，以BF為直徑作圓E，當⊙E與y軸相切時，設切點為P，

∴∠BPF=90°，∴∠FPG+∠OPB=90°，∵∠OPB+∠OBP=90°，∴∠OBP=∠FPG，

連接EP，則EP⊥OG，

∵BE=EF，∴EP是梯形的中位線，∴OP=PG=2，

∵FG=1，tan∠FPG=tan∠OBP=，

∴，∴m=﹣4，

∴當﹣4≤m＜0時，在線段OG上存在點P，使∠OBP=∠FPG；

如圖3，當B在原點的右側時，要想滿足∠OBP=∠FPG，

則∠OBP=∠OPB=∠FPG，∴OB=OP，

∴△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形，

∴FG=PG=1，∴OB=OP=3，∴m=3，

綜上所述，當﹣4≤m＜0或m=3時，在線段OG上存在點P，使∠OBP=∠FPG．