Question

【題目】問題情境：已知：如圖1，直線AB∥CD，現(xiàn)將直角三角板△PMN放入圖中，其中∠MPN=90°，點P始終在直線MN右側(cè)．PM交AB于點E，PN交CD于點F，試探究：∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系．

（1）特例如圖2，當(dāng)點P在直線AB上（即點E與點P重合）時，直接寫出∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系，不必證明；

（2）類比探究：如圖1，當(dāng)點P在AB與CD之間時，猜想∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）拓展延伸：如圖3，當(dāng)點P在直線AB的上方時，PN交AB于點H，其他條件不變，猜想∠PFD與∠AEM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠PFD+∠AEM=90°，理由見解析；（2）∠PFD+∠AEM=90°，理由見解析；（3）∠PFD﹣∠AEM=90°，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠PFD=∠APF，結(jié)合圖形證明；

（2）作PQ∥AB交MN于Q，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答；

（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)解答．

解：（1）∠PFD+∠AEM=90°，

理由如下：∵AB∥CD，

∴∠PFD=∠APF，

∵∠APF+∠AEM=90°，

∴∠PFD+∠AEM=90°；

（2）∠PFD+∠AEM=90°，

理由如下：作PQ∥AB交MN于Q，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠AEM=∠QPE，∠PFD=∠QPF，

∵∠QPE+∠QPF=90°，

∴∠PFD+∠AEM=90°；

（3）∠PFD﹣∠AEM=90°，

理由如下：∵AB∥CD，

∴∠PFD=∠PHB，

∵∠PHB﹣∠PEB=90°，∠AEM=∠PEB，

∴∠PHB﹣∠AEM=90°，

∴∠PFD﹣∠AEM=90°．