Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣4x與x軸交于O，A兩點，P為拋物線上一點，過點P的直線y=x+m與對稱軸交于點Q

（1）這條拋物線的對稱軸是 ，直線PQ與x軸所夾銳角的度數是 .
（2）若兩個三角形面積滿足S△POQ=S△PAQ ， 求m的值
（3）當點P在x軸下方的拋物線上時，過點C（2，2）的直線AC與直線PQ交于點D，求：①PD+DQ的最大值；②PDDQ的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）2；
（2）

設直線PQ交x軸于點B，分別過O點，A點作PQ的垂線，垂足分別是E、F，顯然當點B在OA的延長線時，S△POQ=S△PAQ不成立；

①當點B落在線段OA上時，如圖①，

==，

由△OBE∽△ABF得，==，

∴AB=3OB，

∴OB=OA，

由y=x2﹣4x得點A（4，0），

∴OB=1，

∴B（1，0），

∴1+m=0，

∴m=﹣1；

②當點B落在線段AO的延長線上時，如圖②，

同理可得OB=OA=2，

∴B（﹣2，0），

∴﹣2+m=0，

∴m=2，

綜上，當m=﹣1或2時，S△POQ=S△PAQ；

（3）

①過點C作CH∥x軸交直線PQ于點H，如圖③，

可得△CHQ是等腰三角形，

∵∠CDQ=45°+45°=90°，

∴AD⊥PH，

∴DQ=DH，

∴PD+DQ=PH，

過P點作PM⊥CH于點M，則△PMH是等腰直角三角形，

∴PH=PM，

∴當PM最大時，PH最大，

∴當點P在拋物線頂點出時，PM最大，此時PM=6，

∴PH的最大值為，

即PD+DQ的最大值為．

②由①可知：PD+DQ≤，

設PD=a，則DQ﹣a，

∴PDDQ≤a（﹣a）=﹣a2+a=﹣（a﹣）2+18，

∵當點P在拋物線的頂點時，a=，

∴PDDQ≤18．

∴PDDQ的最大值為18．

【解析】解：（1）∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，
∴拋物線的對稱軸是x=2，
∵直線y=x+m，
∴直線與坐標軸的交點坐標為（﹣m，0），（0，m），
∴交點到原點的距離相等，
∴直線與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，
∴直線PQ與x軸所夾銳角的度數是45°，
故答案為x=2、45°．
（1）把拋物線的解析式化成頂點式即可求得對稱軸；求得直線與坐標軸的交點坐標，即可證得直線和坐標軸圍成的圖形是等腰直角三角形，從而求得直線PQ與x軸所夾銳角的度數；
（2）分三種情況分別討論根據已知條件，通過△OBE∽△ABF對應邊成比例即可求得；
（3）①過點C作CH∥x軸交直線PQ于點H，可得△CHQ是等腰三角形，進而得出AD⊥PH，得出DQ=DH，從而得出PD+DQ=PH，過P點作PM⊥CH于點M，則△PMH是等腰直角三角形，得出PH=PM，因為當PM最大時，PH最大，通過求得PM的最大值，從而求得PH的最大值；由①可知：PD+PH≤6，設PD=a，則DQ﹣a，得出PDDQ≤a（6﹣a）=﹣a2+6a=﹣（a﹣3）2+18，當點P在拋物線的頂點時，a=3，得出PDDQ≤18．