Question

如果一條拋物線與軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．
（1）“拋物線三角形”一定是       三角形；
（2）如圖，△OAB是拋物線的“拋物線三角形”，是否存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過O、C、D三點的拋物線的表達式；若不存在，說明理由；
（3）在（2）的條件下，若以點E為圓心，r為半徑的圓與線段AD只有一個公共點，求出r的取值范圍．

Answer 1

（1）等腰；（2）存在，；（3）或.

解析試題分析：（1）根據拋物線的軸對稱性和等腰三角形的判定可得結論.
（2）根據“拋物線三角形”求出A，B的坐標，求出A，B關于原點O為對稱的點C，D的坐標，根據待定系數法求出過O、C、D三點的拋物線的表達式.
（3）點E為圓心，r為半徑的圓與線段AD只有一個公共點，則⊙E與AD相切或⊙E的半徑在AE和AD之間.
（1）等腰 .
（2）存在．
如圖，作△OCD與△OAB關于原點O中心對稱，則四邊形ABCD為平行四邊形．
當OA=OB時，平行四邊形ABCD為矩形 .
又∵AO=AB，∴△OAB為等邊三角形．
作AE⊥OB，垂足為E．
∴．∴(b﹥0)．∴.
∴．
∴ .
設過點O,C,D三點的拋物線，則
，解之，得.
∴所求拋物線的表達式為 .

（3）①⊙E與AD相切時， .
②⊙E過點D時，.
③⊙E過點A時， .
綜上所述，或.
考點：1.新定義；2.二次函數的性質；3．等腰三角形的判定；4.關于坐標原點對稱的性質；5.待定系數法的應用；6.曲線上點的坐標與方程的關系；7.直線與圓的位置關系；8.分類思想的應用.