Question

平面直角坐標系中，拋物線交軸于A、B兩點（點A在點B左側），與軸交于點C，點A、C的坐標分別為（-3,0），（0,3），對稱軸直線交軸于點E,點D為頂點.
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線AC下方的拋物線上一點，且,，求點P的坐標；
（3）點M是第一象限內拋物線上一點，且∠MAC=∠ADE，求點M的坐標.

Answer 1

（1）y=-x²-2x+3；（2）（-4，-5）或（1，0）；（3）（，）．

解析試題分析：（1）由已知中點A、C的坐標分別為（-3，0），（0，3），對稱軸為直線x=-1，得出B點坐標，進而利用交點式求出即可求出拋物線的解析式；
（2）由已知中C點坐標，再假設出P點坐標，可求出直線PC解析式，求出R點坐標，進而根據S_△PAC=2S_△DAC，可得點P的坐標；
（3）過點C作CH⊥DE交DE于點H，設AC交對稱軸于點G，AM交y軸于點N，由∠MAC=∠ADE，可得N點坐標，進而求出CN的方程，聯立直線與拋物線方程可得M點坐標．
（1）由對稱軸x=-1，A（-3，0），可得B點坐標（1，0）
設y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得，4=-8a，
解得：a=-1，
所求解析式為：y=-x²-2x+3；
（2）如圖：y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，頂點D（-1，4），

由A（-3，0）、C（0，3），得直線AC解析式為y=x+3；
設對稱軸交AC于點G，則G（-1，2），∴S_△DAC=（4-2）×3=3，
設P點（m，-m²-2m+3），
設PC解析式為：y=qx+p，
∴，
解得：k=-m-2，
∴PC解析式為：y=（-m-2）x+3，
設PC與x軸交于點R，
∴R（，0），
∴AR=3+，
∴S_△APR+S_△CAR=（3+）×（m²+2m-3）+×（3+）×3=+，
則S_△PAC=+，
由S_△PAC=2S_△DAC，∴+=2×3，
解得：m₁=-4，m₂=1，
把m₁=-4，m₂=1分別代入y=-x²-2x+3中，
∴y₁=-5，y₂=0，
∴P點坐標為（-4，-5）或（1，0）；
（3）由以上可得出：D（-1，4），C（0，3），E（-1，0），
如備用圖：過點C作CH⊥DE交DE于點H，

∴H（-1，3），CH=DH=1，∠DCH=∠HCA=∠CA0=45°，
∴CD=，AC=3，△ACD為直角三角形，且tan∠DAC=．
設AC交對稱軸于點G，AM交y軸于點N，
∵∠DAC+∠ADE=∠DGC=45°，∠CAM+∠MAO=∠CAO=45°，∠ADE=∠CAM，∠DAC=∠MAO，
∴tan∠MAO=．
∵A（-3，0），
∴ON=1，即N（0，1），
設直線CN解析式為：y=dx+h
∴，
解得：，
∴直線CN解析式為y=x+1，
聯立方程
得：x=-3（舍）或x=，
∴點M的坐標為（，）．
考點：二次函數綜合題．