Question

如圖，已知拋物線與x軸的交點為A、D（A在D的右側），與y軸的交點為C.
（1）直接寫出A、D、C三點的坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點M，使得MD+MC的值最小，并求出點M的坐標；
（3）設點C關于拋物線對稱的對稱點為B，在拋物線上是否存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）A(4，0) 、D(－2，0)、C(0，－3)；（2）連接AC，則AC與拋物線的對稱軸交點M即為所求，M (1，)；（3）存在，(－2，0)或(6，6).

解析試題分析：（1）在中令，解得，
∴A(4，0) 、D(－2，0).
在中令，得，∴C(0，－3).
（2）連接AC，根據軸對稱的性質，AC與拋物線的對稱軸交點M即為所求，從而應用待定系數法求出AC的解析式，再求出拋物線的對稱軸，即可求得點M的坐標.
（3）分BC為梯形的底邊和BC為梯形的腰兩種情況討論即可.
試題解析：（1）A(4，0) 、D(－2，0)、C(0，－3)
（2）如圖，連接AC，則AC與拋物線的對稱軸交點M即為所求.
設直線AC的解析式為，則，解得.
∴直線AC的解析式為.
∵的對稱軸是直線，
把x=1代入得
`∴M(1，).

（3）存在，分兩種情況：
①如圖，當BC為梯形的底邊時，點P與D重合時，四邊形ADCB是梯形，此時點P為(－2，0).

②如圖，當BC為梯形的腰時，過點C作CP//AB，與拋物線交于點P，
∵點C，B關于拋物線對稱，∴B(2，－3)
設直線AB的解析式為，則，解得.
∴直線AB的解析式為.
∵CP//AB，∴可設直線CP的解析式為.
∵點C在直線CP上，∴.
∴直線CP的解析式為.
聯立，解得，
∴P(6，6).

綜上所述，在拋物線上存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形，點P的坐標為(－2，0)或(6，6).
考點：1.二次函數綜合題；2.待定系數法的應用；3.曲線上點的坐標與方程的關系；4.軸對稱的應用（最短線路問題）；5.二次函數的性質；6.梯形存在性問題；7.分類思想的應用.