Question

如圖1所示，將一個邊長為2的正方形ABCD和一個長為2、寬為1的長方形CEFD拼在一起，構成一個大的長方形ABEF．現將小長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，旋轉角為α．
（1）當點D′恰好落在EF邊上時，求旋轉角α的值；
（2）如圖2，G為BC中點，且0°＜α＜90°，求證：GD′=E′D；
（3）小長方形CEFD繞點C順時針旋轉一周的過程中，△DCD′與△CBD′能否全等？若能，直接寫出旋轉角α的值；若不能說明理由．

Answer 1

（1）30⁰；（2）證明見解析；（3）能，135⁰或315⁰.

試題分析：（1）根據旋轉的性質得CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，則∠CD′E=30⁰，然后根據平行線的性質即可得到∠α=30⁰.
（2）由G為BC中點可得CG=CE，根據旋轉的性質得∠D′CE′=∠DCE=900，CE=CE′CE，則∠GCD′=∠DCE′=90⁰+α，然后根據“SAS”可判斷△GCD′≌△∠DCE′，GD′=E′D.
（3）根據正方形的性質得CB=CD，而CD=CD′，則△BCD′與∠DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當兩頂角相等時它們全等，當△BCD′與∠DCD′為鈍角三角形時，可計算出α=135⁰，當△BCD′與∠DCD′為銳角三角形時，可計算得到α=315⁰.
（1）∵長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，∴CD′=CD=2.
在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，∴sinα=．∴∠CD′E=30⁰.
∵CD∥EF，∴∠α=30⁰.
（2）∵G為BC中點，BC=2，∴CG=1．∴CG=CE.
∵長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90⁰，CE=CE′CE．∴∠GCD′=∠DCE′=90⁰+α.
在△GCD′和△∠DCE′中，
∵，∴△GCD′≌△∠DCE′（SAS）．∴GD′=E′D.
（3）能．理由如下：
∵四邊形ABCD為正方形，∴CB=CD.
∵CD=CD′，∴△BCD′與∠DCD′為腰相等的兩等腰三角形.
當∠BCD′=∠DCD′時，△BCD′≌∠DCD.
當△BCD′與∠DCD′為鈍角三角形時，；
當△BCD′與∠DCD′為銳角三角形時，.
∴旋轉角a的值為135⁰或315⁰時，△BCD′與∠DCD′全等.